- •1 Основні поняття теорії похибок
- •1.1 Поняття похибки
- •1.2 Дії над наближеними числами
- •1.3 Пряма та обернена задачі теорії похибок
- •1.3 Джерела похибок обчислень
- •2 Обчислення значень функцій
- •2.1 Обчислення значень полінома. Схема Горнера
- •2.2 Наближене знаходження сум числових рядів
- •2.3 Обчислення значень аналітичної функції
- •2.4 Обчислення значень показової функції
- •2.5 Обчислення значень логарифмічної функції
- •2.6 Обчислення значень тригонометричних функцій
- •3 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •3.1 Концепція методів
- •3.2 Метод простої ітерації
- •3.3 Метод Гаусса-Зейделя
- •4 Розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь
- •1. Етап відділення кореня: на цьому етапі відділяється корінь, тобто знаходиться такий відрізок, усередині якого міститься точно один корінь і з цього відрізка береться початкове наближення кореня.
- •2. Етап уточнення кореня: на цьому етапі послідовно уточнюють корінь, тобто знаходять значення із заданою точністю .
- •4.1 Відділення коренів
- •4.2 Метод половинного поділу (метод дихотомії)
- •4.3 Метод хорд (спосіб пропорційних частин)
- •4.4 Метод Ньютона (метод дотичних)
- •4.5 Комбінований метод
- •4.6 Метод ітерації
- •4.7 Метод ітерації для системи двох рівнянь
- •5 Обробка емпіричних даних
- •5.1 Інтерполяція та екстраполяція
- •5.2 Концепція інтерполяції та екстраполяції
- •5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції
- •5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа
- •5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона
- •5.6 Апроксимація
- •При цьому вимагається, щоб
- •Побудуємо емпіричний точковий графік.
- •Візуальний аналіз побудови дозволяє обрати на роль апроксимуючої функції квадратичну параболу
- •6 Наближене обчислення визначених інтегралів
- •6.1 Концепція чисельного інтегрування
- •6.2 Методи прямокутників та трапецій
- •6.3 Метод Симпсона
- •6.4 Метод Монте-Карло
4.5 Комбінований метод
Нехай , і зберігають сталі знаки на відрізку . Об’єднуючи методи хорд та Ньютона, отримаємо метод, на кожному етапі якого знаходимо значення з нестачею та значення з надлишком точного кореня рівняння .
Звідси, зокрема, випливає, що цифри, спільні для і , обов’язково належать точному кореню . Теоретично можливі чотири випадки:
1) (мал. 4.7);
2) (мал. 4.8);
3) (мал. 4.9);
4) (мал. 4.10 ).
Ми обмежимося розглядом першого випадку. Інші випадки вивчаються аналогічно, причому характер обчислень легко зрозуміти з відповідних малюнків. Зауважимо, що ці випадки можна звести до першого, якщо замінити досліджуване рівняння рівносильними йому рівняннями: та , де .
Отже, нехай та при . Покладемо та
Рис. 4.7 Рис. 4.8
Рис. 4.9 Рис. 4.10
У формулах та метод хорд застосовується на кожному кроці до нового відрізка .
Легко встановити, що
(4.18).
Отже, якщо абсолютна похибка наближеного кореня задана попередньо і рівна , то процес зближення закінчується тоді, коли буде встановлено, що . По закінченню процесу значення кореня краще всього прийняти рівним середньому арифметичному знайдених останніх значень:
.
Приклад. Обчислити з точністю єдиний додатний корінь рівняння
.
Розв’язок. Так як і , то корінь знаходиться в інтервалі . Маємо:
та .
У вибраному нами інтервалі перша та друга похідні зберігають додатний знак.
Застосуємо комбінований метод, поклавши та .
Обчислення за формулами та дадуть такі результати:
.
Так як , обчислення потрібно продовжити. Знаходимо наступну пару наближень:
.
Так як , обчислення слід закінчити.
Можна покласти:
.
4.6 Метод ітерації
Одним з найбільш важливих методів чисельного розв’язування рівнянь є метод ітерації ( часто метод ітерації називають методом послідовних наближень). Сутність цього методу полягає у наступному.
Нехай дано рівняння
(4.19),
де — неперервна функція, і потрібно знайти його дійсні корені.
Замінимо рівняння (4.19) рівносильним рівнянням
. (4.20)
Виберемо яким-небудь способом наближене значення кореня та підставимо його у праву частину рівняння (4.20). Тоді отримаємо деяке число
. (4.21)
Підставимо тепер у праву частину рівності (4.20) замість число , отримаємо нове число . Повторюючи цей процес, отримаємо послідовність чисел
. (4.22)
Якщо ця послідовність — збіжна, тобто існує границя , то, переходячи до границі у рівності (4.22) и вважаючи функцію неперервною, знаходимо:
або
(4.23).
Таким чином, границя є коренем рівняння (4.20) и може бути обчислена за формулою (4.22) з будь-якою точністю.
Для практичного застосування методу ітерації потрібно з’ясувати достатні умови збіжності ітераційного процесу.
Теорема 1 (без доведення). Нехай функція визначена і диференційована на відрізку , причому всі її значення .
Тоді, якщо існує дійсне число таке, що
(4.24)
при , то:
1) процес ітерації
збігається незалежно від початкового значення ;
2) граничне значення
є єдиним коренем рівняння
.
Зауваження 1. Теорема залишається справедливою, якщо функція визначена та диференційована на нескінченому інтервалі , причому при виконується нерівність (4.24).
Зауваження 2. В умовах теореми 1 метод ітерації збігається при будь-якому виборі початкового значення . Завдяки цьому цей метод є таким, що сам виправляється, тобто, окрема помилка у обчисленнях, яка не виводить за межі відрізка , не вплине на кінцевий результат, адже помилкове значення можна розглядувати як нове початкове значення . Можливо, зросте лише обсяг роботи. Властивість самовиправлення робить метод ітерації одним з надійніших методів обчислення. Звичайно, систематичні помилки при застосуванні методу ітерації можуть завадити отриманню правильного результату.
Оцінка наближення. Процес ітерації слід продовжувати до тих пір, доки для двох послідовних наближений і не буде забезпечено виконання нерівності
,
де - задана похибка кореня і .
Якщо , то з нерівності випливає нерівність .
Приклад. Знайти з точністю один з коренів рівняння .
Розв’язок.
. Дане рівняння має корінь на інтервалі .
Представимо рівняння у вигляді . У цьому випадку .
Очевидно, що при маємо також .
Похідна .
При маємо .
Умови теореми 1 виконані. Процес ітерації будемо здійснювати до забезпечення виконання нерівності
.
Покладемо . Послідовно обчислюємо:
На цьому процес ітерації можна зупинити, так як .
Покладемо .
Приклад 2. Знайти методом ітерацій найбільший додатний корінь рівняння з точністю .
Розв’язок. Легко впевнитися в тому, що шуканий корінь знаходиться на інтервалі . Справді, і при .
Початкове рівняння можна переписати у вигляді , або , або тощо.
Найвигіднішим серед цих способів є останній, так як, обравши за основний проміжок і поклавши
,
знайдемо, що похідна
за абсолютною величиною не перевищує :
.
Розраховуємо послідовні наближення з одним запасним знаком за формулою
Так як , то з точністю можна покласти
Приклад 3. Рівняння
Має корінь , так як та .
Дане рівняння можна записати у вигляді
.
Тут
та ;
тому при .
Отже, умови збіжності процесу ітерації не виконуються.
Якщо записати початкове рівняння у вигляді
,
то матимемо
та .
Звідси при , отже, процес ітерації є збіжним.