Зміст

Зміст 2

Вступ 4

1 Основні поняття теорії похибок 6

1.1 Поняття похибки 6

1.2 Дії над наближеними числами 7

1.3 Пряма та обернена задачі теорії похибок 8

1.3 Джерела похибок обчислень 11

2 Обчислення значень функцій 12

2.1 Обчислення значень полінома. Схема Горнера 13

2.2 Наближене знаходження сум числових рядів 15

2.3 Обчислення значень аналітичної функції 17

2.4 Обчислення значень показової функції 19

2.5 Обчислення значень логарифмічної функції 21

2.6 Обчислення значень тригонометричних функцій 24

3 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) 25

3.1 Концепція методів 25

3.2 Метод простої ітерації 26

3.3 Метод Гаусса-Зейделя 28

4 Розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь 33

Багато задач дослідження різних об’єктів за допомогою моделей приводять до необхідності розв’язування нелінійних рівнянь. Зокрема, досить часто такі задачі виникають при дослідженні пристроїв електронної, радіоелектронної і обчислювальної техніки. 33

Концепція методів. Методи розв’язування нелінійних рівнянь виду поділяються на прямі і ітераційні. 33

Прямі методи дозволяють записати розв’язки (корені рівнянь) у вигляді деякого скінченого співвідношення (формули). За допомогою цих методів можна розв’язати тільки деякі найпростіші рівняння (наприклад, квадратні рівняння). 33

Проте на практиці мають справу з рівняннями більш високого порядку і тому для їх розв’язування використовують ітераційні методи, тобто методи послідовних наближень. Кожний крок уточнення розв’язку називається ітерацією. 33

Як правило, процес розв’язування нелінійного рівняння виду здійснюється у два етапи: 33

1. Етап відділення кореня: на цьому етапі відділяється корінь, тобто знаходиться такий відрізок, усередині якого міститься точно один корінь і з цього відрізка береться початкове наближення кореня. 33

2. Етап уточнення кореня: на цьому етапі послідовно уточнюють корінь, тобто знаходять значення із заданою точністю . 33

4.1 Відділення коренів 33

. 37

4.2 Метод половинного поділу (метод дихотомії) 37

4.3 Метод хорд (спосіб пропорційних частин) 39

4.4 Метод Ньютона (метод дотичних) 41

4.5 Комбінований метод 45

4.6 Метод ітерації 47

4.7 Метод ітерації для системи двох рівнянь 51

54

5 Обробка емпіричних даних 55

5.1 Інтерполяція та екстраполяція 55

5.2 Концепція інтерполяції та екстраполяції 56

5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції 57

5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа 60

5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона 61

5.6 Апроксимація 65

При цьому вимагається, щоб 66

х 69

у 69

Побудуємо емпіричний точковий графік. 69

69

Візуальний аналіз побудови дозволяє обрати на роль апроксимуючої функції квадратичну параболу 69

6 Наближене обчислення визначених інтегралів 71

6.1 Концепція чисельного інтегрування 72

6.2 Методи прямокутників та трапецій 72

6.3 Метод Симпсона 75

6.4 Метод Монте-Карло 77

Вступ

Бурхливий розвиток новітньої техніки та все більше впровадження сучасних методів математики в інформаційні технології істотно підвищили вимоги до математичної підготовки фахівців цієї галузі людської діяльності.

Обчислювальна техніка наших днів представляє собою потужні засоби для фактичного виконання рахункової й аналітичної роботи. Ефективне використання сучасної обчислювальної техніки неможливе без умілого застосування методів наближеного та чисельного аналізу. Цим і пояснюється надзвичайний інтерес до методів обчислювальної математики як в Україні, так і в інших країнах.

Основне призначення пропонованого курсу - дати систематичний і сучасний виклад найважливіших методів і прийомів обчислювальної математики на базі загального курсу вищої математики.

У курсі широко використовуються основи матричного числення. Поняття вектора, матриці, оберненої матриці, власного значення та власного вектора матриці тощо є робочими. Застосування матриць дає ряд переваг при викладі, тому що, користуючись ними, легше вдається з’ясувати закономірність багатьох розрахунків. Адже сучасні швидкодіючі обчислювальні машини легко здійснюють основні матричні операції.

Для повного розуміння змісту курсу від слухача потрібен деякий мінімум відомостей з лінійної алгебри та математичного аналізу.

Пропонований курс лекцій в основному присвячений наступним питанням:

• дії з наближеними числами;

• обчислення значень функцій за допомогою рядів й ітеративних процесів;

• чисельний розв’язок алгебраїчних і трансцендентних рівнянь;

• обчислювальні методи лінійної алгебри;

• інтерполяція функцій;

• чисельне диференціювання й інтегрування функції;

• метод Монте-Карло.

Особлива увага звернена на зручні способи оцінки похибок. Основні методи доведені до чисельних додатків - дані розрахункові схеми й наведені числові приклади з докладним ходом розв’язування. З метою кращого розуміння суті справи частина наведених прикладів розглядається в спрощеному трактуванні й носить ілюстративний характер. Використана література представлена наприкінці курсу.

В результаті вивчення матеріалу лекцій і виконання лабораторних робіт студенти повинні:

• знати основні чисельні методи і їх особливості при розв’язуванні різноманітних математичних задач.

• уміти вибрати і обґрунтувати використання на практиці тих або інших чисельних методів.

• оцінити переваги і недоліки алгоритмів, що використовуються в стандартних пакетах математичної обробки або програмах моделювання при розв’язуванні практичних задач.

• набути навичок роботи зі стандартними пакетами математичної обробки, наприклад, з MathCAD, Excel.

Автор при складанні курсу лекцій керувався книгою Б. П. Демидовича та І. А. Марона «Основы вычислительной математики», а також власною точкою зору на цей розділ математики та власним досвідом роботи із програмами EXCEL й MAPLE.

м. Чернігів. Липень – серпень 2011 року.

1 Основні поняття теорії похибок

1.1 Поняття похибки

Розрізняють два види похибок – абсолютну і відносну. Абсолютна похибка деякого числа дорівнює різниці між його істинним значенням і наближеним значенням, отриманим в результаті обчислення або вимірювання. Відносна похибка - це відношення абсолютної похибки до наближеного значення числа.

Таким чином, якщо а — наближене значення числа х, то вирази для абсолютної і відносної похибок запишуться відповідно у такому вигляді:

Абсолютна похибка:

Відносна похибка: .

На жаль, істинне значення величини х звичайно невідомо. Тому приведені вирази для похибок практично не можуть бути використані. Є лише наближене значення а, і потрібно знайти його граничну похибку а, що є верхньою оцінкою модуля абсолютної похибки, тобто |a|  а. Надалі значення а приймається як абсолютна похибка наближеного числа а. В цьому випадку істинне значення х знаходиться в інтервалі (а - а, а + a).

Для наближеного числа, отриманого в результаті округлення, абсолютна похибка а приймається рівною половині одиниці останнього розряду числа. Наприклад, значення а=0,734 могло бути отримано округленням чисел 0,73441, 0,73353 тощо. При цьому а0,0005, і вважаємо a=0,0005.

Наведемо приклади оцінки абсолютної похибки при деяких значеннях наближеної величини а.

а	51,7	-0,0031	16	16,00
а	0,05	0,00005	0,5	0,005

Граничне значення відносної похибки – відношення граничної абсолютної похибки до абсолютної величини наближеного числа:

Наприклад (-2,3) = 0,05/2,3  0,022 (2,2%). Зауважимо, що похибка округляється завжди у бік збільшення. В даному випадку (-2,3)  0,03.

1.2 Дії над наближеними числами

Сформулюємо правила оцінки граничних похибок при виконанні операцій над наближеними числами.

При додаванні або відніманні чисел їх абсолютні похибки додаються. Відносна похибка суми знаходиться між найбільшим і найменшим значеннями відносних похибок доданків; на практиці приймається найбільше значення.

При множенні або діленні чисел їх відносні похибки додаються. При піднесенні до степеня наближеного числа його відносна похибка множиться на показник степеня.

Для випадку двох наближених чисел а і b ці правила можна записати у вигляді формул:

(1.1)

Приклад 1. Знайти відносну похибку функції

Використовуючи формулу (1.1), маємо:

=

Отримана оцінка відносної похибки містить в знаменнику вираз |1 – x|. Ясно, що при х  1 можемо отримати дуже велику похибку. У зв'язку з цим розглянемо докладніше випадок віднімання близьких чисел.

Запишемо вираз для відносної похибки різниці двох чисел у вигляді

При а  b ця погрішність може бути як завгодно великою.

Приклад 2. Хай а = 2520, b = 2518. В цьому випадку маємо абсолютні похибки початкових даних а = b = 0,5 і відносні похибки а  b = 0,5/2518  0,0002 (0,02%). Відносна похибка різниці рівна

Отже, при малих похибках в початкових даних ми отримали дуже неточний результат. Тому, при організації обчислювальних алгоритмів слід уникати віднімання близьких чисел; при нагоді алгоритм потрібно видозмінити щоб уникнути втрати точності на деякому етапі обчислень.

З розглянутих правил виходить, що при складанні або відніманні наближених чисел бажано, щоб ці числа мали однакові абсолютні похибки, тобто однакове число розрядів після десяткової коми. Наприклад, 38,723+4,9=43,6; 425,4–0,047=425,4. Облік відкинутих розрядів не підвищить точність результатів. При множенні і діленні наближених чисел кількість значущих цифр вирівнюється по найменшій з них.

Разом з приведеними вище оцінками похибок при виконанні деяких операцій над наближеними числами можна записати аналогічні оцінки і для обчислення функцій, аргументами яких є наближені числа. Проте більш повним виявляється загальне правило, засноване на обчисленні приросту (похибки) функцій при заданих приростах (похибках) аргументів.