- •Системный анализ и моделирование процессов в техносфере
- •1.1. Понятие системы. Базовые категории систем
- •1.2. Классификация систем
- •1.3. Общее представление о системном анализе
- •1.4. Принципы системного анализа
- •2.1. Этапы анализа и синтеза
- •2.2. Понятие о структурном анализе
- •2.3. Методы декомпозиции
- •2.4. Требования, предъявляемые к декомпозиции
- •2.5. Алгоритм декомпозиции
- •2.5. Программно-целевой подход к решению системных задач
- •1. Область применения и этапы программно-целевого подхода
- •2. Дерево целей
- •3.1. Агрегирование системы и эмерджентность
- •3.2. Виды связей в системе
- •Связи взаимодействия (координации):
- •Связи преобразования:
- •3.3. Виды агрегирования
- •4.1. Общие свойства процесса принятия решений
- •4.2. Участники процесса принятия решения
- •4.3. Схема ппр
- •4.4. Формулирование проблемы
- •4.5. Определение целей
- •4.6. Генерирование альтернатив
- •4.7. Формирование критериев
- •4.8. Физиология принятия решений
- •4.9. Виды и особенности задач принятия решений
- •4.10. Формализация принятия решений
- •Лекция 5. Информационное обеспечение ппр
- •5.1. Понятие информации
- •5.2. Информационная структура процесса принятия решений
- •6.1. Особенности группового выбора
- •6.2. Экспертные методы выбора
- •6.3. Методы типа мозговой атаки или коллективной генерации идей
- •6.4. Методы типа сценариев
- •6.5. Методы типа «Делфи»
- •6.6. Методы типа дерева целей
- •6.7. Морфологические методы
- •7.1 Основные положения теории управления
- •7.2 Аксиомы теории управления
- •7.3 Модели основных функций организационно-технического управления
- •7.4 Описание функций управления
- •Лекция 8. Понятие и классификация моделей
- •8.1 Понятие модели, моделирования
- •8.2 Познавательные и прагматические модели
- •8.3 Статические и динамические модели
- •8.4 Классификация моделей по способу воплощения
- •8.5 Место математического моделирования в системных исследованиях
- •8.6 Типы и виды математических моделей
- •8.7 Процесс построения математической модели
- •8.8 Структура моделирования происшествий в техносфере
- •9.1 Конфликт ‒ предмет рассмотрения теории игр
- •9.2 Понятие игры. Классификация игр. Формальное представление игр
- •9.3 Определение бескоалиционной игры
- •9.4 Приемлемые ситуации и ситуации равновесия
- •9.5 Примеры игровых задач
- •10.1 Граф и его виды
- •10.2 Задача о кратчайшем пути
- •10.3 Задача о максимальном потоке
- •11.1 Поверхность отклика
- •11.2 Этапы планирования эксперимента
- •11.3 Обработка и анализ результатов моделирования
- •12.1 Полный факторный эксперимент
- •12.2 Дробный факторный эксперимент
- •12.3 Метод наименьших квадратов
- •13.1 Основная цель кластерного анализа
- •13.2 Объединение (древовидная кластеризация)
- •13.3 Двувходовое объединение
- •13.4 Метод k средних
- •13.5 Алгоритм нечеткой кластеризации
- •14.1 Понятие когнитивного моделирования
- •14.2 Подсистема представления субъективной информации
- •14.3 Подсистема извлечения предпочтений эксперта
- •14.4 Подсистема обработки
- •14.5 Подсистема представления результатов моделирования
- •14.6 Подсистема поддержки аналитической деятельности эксперта
- •14.7 Моделирование бизнес процессов на основе bpmn-диаграмм
- •14.8 Метод анализа иерархий (маи): введение
- •14.9 Основные принципы маи
- •1. Принцип идентичности и декомпозиции
- •2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений
- •3. Принцип синтеза
- •14.10 Общая оценка маи как метода принятия решений
- •15.1 Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •15.2 Сети одномерных конечных элементов
- •15.3 Виды конечных элементов
- •16.1 Основные понятия
- •16.2 Приближенное решение оду при заданных начальных условиях
- •16.3 Метод Эйлера и его модификации
- •16.4 Метод Рунге-Кутта
- •16.5 Приближенное решение ду n-го порядка при заданных начальных условиях
- •16.6 Приближенное решение ду при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •16.6.1 Метод начальных параметров
- •16.6.2 Редукция к задаче Коши для линейного ду второго порядка
- •17.1 Основные понятия
- •17.2 Типы элементов
- •17.3 Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •17.4 Метод получения топологических уравнений
- •18.1 Свойства задач принятия решения со многими критериями
- •18.2. Формирование множества критериев
- •18.3 Методология решения многокритериальных задач
- •18.4 Технологии отыскания эффективных решений
- •18.5 Методы принятия решения при нескольких критериях
16.6.2 Редукция к задаче Коши для линейного ду второго порядка
Найдем решение линейного дифференциального уравнения
(15)
удовлетворяющего краевым условиям
;
(16)
где p(x), q(x), f(x) — непрерывные функции; — заданные постоянные, причем , .
Из курса высшей математики известно, что если u=u(x) — частное решение соответствующего однородного уравнения
(17)
то произведение cu, где c – произвольная постоянная, есть общее решение этого уравнения. Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения (3.42) y=y(x) будет, равно сумме общего решения см однородного уравнения (17) и частного решения v=v(x) неоднородного уравнения
(18)
Таким образом, искомое решение запишем в виде комбинации
(19)
Потребуем, чтобы первое краевое условие (17) выполнялось для функции y при любом c. Для этого подставим выражение (19) в это краевое условие, в результате чего будем иметь
Такое условие возможно для произвольного c, если будут выполнены равенства
,
.
Следовательно,
; (20)
где постоянная , при этом
, , если (21)
, , если (22)
Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши для однородного уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18), а v есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям (18) или (19). При этом для любого c функция (20) удовлетворяет первому краевому условию (18), т.е. при x=a.
Подберем теперь постоянную c так, чтобы функция (22) удовлетворяла второму краевому условию (20) при x=b. Будем иметь
, откуда
(23)
Литература:
1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. – Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. – 206 с.
Лекция 17. Модели многосвязных технических систем
17.1 Основные понятия
Многосвязная техническая система может состоять из подсистем разной физической природы. Например, автомобиль включает в себя подсистемы питания, смазки, охлаждения, электроснабжения и др. Все эти подсистемы при функционировании тесно взаимодействуют друг с другом. Моделирование подобных систем удобно осуществлять на макроуровне. Для этой цели разработан универсальный аппарат с мощным программным обеспечением. Мы рассмотрим основные принципы моделирования систем на макроуровне, при этом будем использовать несколько устаревшие, но весьма наглядные условные обозначения элементов.
Каждый элемент технической системы выполняет вполне определенные функции. Математическое описание этой функции в форме аналитического выражения или в виде систем уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных) образует математическую модель элемента. Переменные, которые фигурируют в математической модели и определяют в конечном итоге состояние или поведение элемента, принято называть переменными состояния или фазовыми переменными, а уравнения, устанавливающие связь между разнородными фазовыми переменными в пределах одного элемента – компонентными уравнениями.
Если обозначить фазовые переменные для i-го элемента через и то компонентное уравнение можно записать в виде
(1)
Для объединения элементов в ансамбль (рис. 1) для каждого узла сопряжения элементов должна быть установлена зависимость между однородными фазовыми переменными
; (2)
(3)
тех элементов i, j, ... системы, которые примыкают к данному узлу.
Рис. 1 Фрагмент системы элементов
В общем случае техническая система может состоять из элементов разной физической природы, поэтому при объединении элементов в ансамбль могут встретиться большие трудности (при попытках установить связь между фазовыми переменными различных элементов). Такие трудности будут устранены, если для всех элементов системы использовать группы однородных фазовых переменных, имеющих одинаковое математическое описание вне зависимости от типа элемента и протекающих в нем процессов. А это значит, что фазовые переменные, входящие в уравнения типа (1), должны отражать фундаментальные закономерности, присущие всем элементам системы. Примером фундаментальных закономерностей являются энергетические принципы, которые мы и будем брать за основу при рассмотрении электрических, механических, тепловых, гидравлических и пневматических подсистем.
В каждой такой подсистеме энергия может быть представлена в форме совокупностей потенциальной V и потоковой J дуальных переменных, а все многообразие элементов может быть сведено к простейшим элементам трех типов: С, L, R. На элементах С и L происходит накопление потенциальной (кинетической) энергии, а на элементе типа R – рассеивание (диссипация) энергии.
Моделирующий элемент может представлять собой (замешать) физическую единицу системы, либо отражать отдельные свойства такой единицы в форме математических образов. Поэтому при рассмотрении аналогий компонентных уравнений было бы правильно использовать понятие «компоненты», однако, в силу сложившихся традиций, мы будем называть замещающие двухполюсники элементами, имея в виду, что реальный элемент системы иногда может быть замещен двумя и более двухполюсниками.