16.2 Приближенное решение оду при заданных начальных условиях
Математическое моделирование систем, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением при заданных начальных условиях, осуществляется наиболее просто, если уравнение в явном виде разрешено относительно производной:
От влияния внутренних параметров h и воздействий внешней среды v можно избавиться, повторяя решение заданного уравнения при фиксированных значениях этих параметров h=const, v=const.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
(2)
Если требуется найти интегральную кривую у=у (х), проходящую через заданную точку М0 (х0, у0), то формулируется задача Коши: найти решение у=у(х) уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0.
Существуют различные приемы решений такой задачи: метод последовательных приближений, интегрирование уравнений с помощью степенных рядов, методы Адамса, Крылова, Милна и др. Ниже рассмотрены методы Эйлера и Рунге-Кутта, первый из которых является наиболее наглядным, а второй – наиболее популярным.
16.3 Метод Эйлера и его модификации
Принцип
численного решения уравнения (2) при
начальном условии у(х0)=у0,
основанный на методе Эйлера, чрезвычайно
прост. Он непосредственно вытекает из
смысла производной. Подставляя заданное
начальное значение х0
и у0
в правую часть Исходного уравнения (2),
мы определим производную в этой точке:
y'(х=х0)=f(х0,
у0), т. е.
найдем тангенс угла наклона касательной
к искомой кривой. Это дает возможность
определить приближенное значение
функции в соседней точке при x1
=x0
+ h
(рис. 2). При этом приращение функции
будет
,
а полное значение ординаты при этом
составит
.
Таким образом, получены приближенные
координаты соседней точки x1,
y1,
принимая которые за исходные, мы можем
повторить вычисления методом Эйлера и
найти следующую точку с координатами
х2,
у2.
Аналогично вычисляются все последующие
точки по формулам
(3)
где h – достаточно малый шаг приращений координаты х.
Рис. 2. К решению уравнения методом Эйлера
Для того чтобы назначить величину шага, обеспечивающую необходимую точность вычислений, расчет повторяют при шаге, в два раза меньшем первоначального. Если разница в результатах вычислений превышает требуемую точность, то шаг разбиения уменьшают еще раз и повторяют расчет.
Метод Эйлера приводит к систематическому накоплению ошибок, поэтому в практике расчетов используют модификации этого метода: метод ломаных и метод Эйлера-Коши.
В первом случае сначала вычисляют промежуточные значения
и находят направление поля интегральных кривых в средней точке
,
а затем полагают
.
Во втором случае грубое приближение
,
уточняется следующим образом:
Дальнейшим развитием и уточнением метода Эйлера являются различные схемы метода Рунге-Кутта. Ниже рассмотрена одна из таких схем, получившая наибольшее распространение.
16.4 Метод Рунге-Кутта
Основная схема метода Рунге-Кутта имеет вид:
(4)
где
(5)
(i = 1, 2,…, n).
Для определения правильности выбора шага h выполняют двойной пересчет, как это было отмечено при рассмотрении метода Эйлера.