16.5 Приближенное решение ду n-го порядка при заданных начальных условиях
Для дифференциального уравнения n-го порядка
(6)
задача Коши состоит в нахождении решения
удовлетворяющего начальным условиям
;
;
…;
где x0, y0, yo’… ‒ заданные числа. Такая задача может быть приведена к решению системы дифференциальных уравнений путем подстановок
,
,
…,
(7)
Будем иметь:
(8)
Дальнейшее решение задачи выполняют как указано выше, например, методом Рунге-Кутта.
Для
примера найдем приближенное решение
нелинейного дифференциального уравнения
свободных колебаний маятника в среде,
обладающей сопротивлением. Пусть
– угол отклонения маятника от положения
равновесия, t
– время.
Полагая, что сопротивление среды
пропорционально угловой скорости
маятника, имеем для
=
(t)
нелинейное дифференциальное уравнение
второго порядка
(9)
где
– коэффициент затухания колебаний;
g – ускорение свободного падения;
l – длина маятника.
Принимая =0,2, g/l= 10, приходим к уравнению
(10)
с
начальными условиями: угол отклонения
,
угловая скорость
.
Выполняя
подстановки типа (9), т.е. полагая
,
запишем уравнение (10) в виде системы
уравнений
,
(11)
Приближенное
решение этой системы будем искать
методом Рунге-Кутта, используя зависимости
(9). При этом роли
и
в уравнениях (9) будут исполнять их
значения:
,
.
Примем:
h=0,1;
,
.
При i=0
находим:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Следовательно, при t1=0,1, имеем:
;
Продолжая
процесс вычислений для других значений
ti,
последовательно можем определить все
интересующие нас значения
.
16.6 Приближенное решение ду при заданных граничных условиях (краевых задач)
Рассмотренные выше приемы решений обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях в одной точке получены путем последовательного интегрирования уравнения по участкам, на которые может быть разбит весь интервал задания подынтегральной функции. В краевой задаче, когда для дифференциального уравнения заданы граничные условия в различных точках, необходимо получить решение в виде общего интеграла. Для решения таких более сложных задач существуют различные способы. Мы рассмотрим лишь некоторые из них, позволяющие свести решения краевых задач к рассмотренным выше задачам Коши.
16.6.1 Метод начальных параметров
Метод начальных параметров основан на дополнении поставленных для краевой задачи граничных условий в начале участка интегрирования некоторыми параметрами, называемыми начальными. Эти параметры выбирают так, чтобы полученная при этом совокупность начальных условий полностью определяла решение поставленной задачи.
Пусть дана краевая задача для системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
(12)
с граничными условиями на концах интервала [0, l]
;
(13)
где
– вектор неизвестных у1(х),
y2(х),...,
уn(х);
А(х) – матрица коэффициентов при неизвестных;
– вектор
свободных членов;
– векторы
постоянных интегрирования.
Общий интеграл системы уравнений (3.40) запишем в следующем виде:
(14)
где
– частное решение матричного уравнения
(12), удовлетворяющее всем нулевым
начальным условиям
;
– частное
решение соответствующего уравнению
(12) однородного уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
где все элементы равны нулю, кроме i-гo,
который равен единице; ci
– постоянные интегрирования.
Подстановкой полученного по (12) решения в условия (13) получают систему n алгебраических уравнений для определения ci. Найденные постоянные подставляют в (14), откуда находят решение исходной краевой задачи.