12.1 Полный факторный эксперимент
Изложение основ факторного планирования эксперимента начнем с простейшего примера.
Пусть
имеется две входные переменные Х1
и Х2,
одна из
которых в интересующей нас области,
заштрихованной на рис. 1, а,
изменяется
в пределах 0,4
X1
0,8,
а другая — в пределах 10
X2
30.
В процессе проведения эксперимента
найдены значения ординат поверхности
отклика в граничных точках (рис. 1, а),
приведенные
в табл. 1.
Рис. 1. Полный факторный эксперимент
Поставим задачу поиска аналитического выражения функции отклика в линейной постановке, т.е. дадим приближенное представление этой функции в виде:
(1)
Таблица 1
№ точки (опыта) |
X1 |
X2 |
y |
1 |
0.4 |
10 |
38 |
2 |
0.8 |
10 |
68 |
3 |
0.4 |
30 |
32 |
4 |
0.8 |
30 |
62 |
Для формализации процедур обработки экспериментальных данных факторы удобно представлять в закодированном виде. С этой целью выберем новую систему координат x1 х2 у (рис. 1, а, 6), начало которой совместим с центром интересующей нас области, и назначим масштабы по осям факторов так, чтобы нижний уровень фактора соответствовал ‒ 1, а верхний +1. Это легко достигается с помощью преобразований вида
(2)
где xi – кодированное значение i-ro фактора;
Хi – натуральное значение фактора;
Хо – нулевой уровень;
– интервал
варьирования фактора.
Для фактора Х1 нулевой уровень и интервал варьирования будут равны
X10=(0,4+0,8)/2=0,6;
X1
= (0,8-0,4)/2=0,2. Для фактора Х2
имеем: X20=(10
+ 30)/2=20;
X2
= (30-10)/2=10.
Кодированные значения факторов приведены в табл. 3.2.
В первом и пятом столбцах этой таблицы повторены значения табл. 1. Во втором столбце приведены значения фиктивной переменной x0, характеризующей свободный член bо в уравнении регрессии (1). Значения x0 всегда принимают равными +1. В 3 и 4 столбцах записаны искомые кодированные переменные; так, для фактора Х1 в первой точке кодированное значение будет x11=(0,4 ‒ 0,6)/0,2= ‒ 1. Подобные таблицы называют матрицами планирования полного факторного эксперимента.
Таблица 2
№ опыта |
X0 |
X1 |
X2 |
Y |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
38 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
68 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
32 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
62 |
Все дальнейшие вычисления полностью формализованы. Коэффициенты регрессии уравнения (3.2) определяют по формуле
(3)
где xin – значение xi, в n-ом опыте;
N – число опытов;
уп – значение отклика в n-ом опыте.
Для вычисления коэффициентов регрессии по табличным данным достаточно перемножить данные столбцов у и соответствующих xi,сложить результаты и поделить их на число опытов.
Так, по данным табл. 2 будем иметь
Искомое линейное уравнение поверхности отклика в закодированных переменных будет:
В натуральной (не кодированной) форме это уравнение имеет вид:
(4)
Рассмотренный в примере план эксперимента соответствует двум факторам для линейной функции. Если поверхность отклика нелинейна, а вы пытаетесь представить ее приближенное выражение, то в уравнении регрессии (1) следует добавить член b12x1x2, учитывающий взаимодействие факторов х1 и х2. В нашем случае линейной исходной поверхности отклика этот член будет равен нулю, в чем нетрудно убедиться, добавив 6-й столбец, элементы которого равны произведениям элементов 3-го и 4-го столбцов.
В общем случае много факторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид:
(5)
Параметр b0 называют общим средним, параметры bi – главными эффектами (взаимодействиями нулевого порядка), параметры bij – эффектами взаимодействия первого порядка (эффектами двухфакторных взаимодействий), параметры bijk – эффектами взаимодействий второго порядка (эффектами трехфакторных взаимодействий) и аналогично b123...n – эффектами взаимодействия порядка п-1 (эффектами n-факторных взаимодействий).
Наиболее часто используют два частных случая функции регрессии: линейную
(6)
и неполную квадратичную
(7)
Техника эксперимента с варьированием к факторов на двух уровнях сводится к проведению 2k опытов. Для построения матрицы планирования эксперимента при любом к следует дважды повторить матрицу планирования для случая к-1: один раз для нижнего уровня k-го фактора, а другой раз — для верхнего. Последовательность достраивания матриц планирования при увеличении к от двух до пяти показана в табл. 3. Первые четыре (отчеркнутые) опыта соответствуют двухфакторному эксперименту типа 22, повторяя табл. 2. Восьмифакторный план типа 23 дважды повторяет двухфакторный эксперимент при варьировании третьего фактора сначала на нижнем, а затем на верхнем уровнях. Аналогично строят планы полных факторных экспериментов при других значениях k.
Таблица 3
№ |
X0 |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
5 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
6 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
7 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
9 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
10 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
11 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
12 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
13 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
14 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
15 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
16 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
17 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
18 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
19 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
20 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
21 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
22 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
23 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
24 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
25 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
26 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
27 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
28 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
29 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
30 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
31 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
32 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
После выбора факторов для каждого из них следует определить область, ограничивающую их возможное варьирование, и назначить основной уровень. Если, например, по условиям эксперимента нас интересует диапазон температуры воды от 20 до 60°С, то основной уровень (для середины интервала) составит 40°, нижний уровень 20°, верхний уровень 60°С. Разница значений между верхним и нижним уровнями фактора не может быть больше физически возможной. Например, для температуры обычной воды при нормальных условиях эта разность не может превысить 100°С. При этом интервал варьирования не должен быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся Факторы, которые по тем или иным причинам невозможно учесть в эксперименте, необходимо во всех опытах стабилизировать на постоянных уровнях.