- •Системный анализ и моделирование процессов в техносфере
- •1.1. Понятие системы. Базовые категории систем
- •1.2. Классификация систем
- •1.3. Общее представление о системном анализе
- •1.4. Принципы системного анализа
- •2.1. Этапы анализа и синтеза
- •2.2. Понятие о структурном анализе
- •2.3. Методы декомпозиции
- •2.4. Требования, предъявляемые к декомпозиции
- •2.5. Алгоритм декомпозиции
- •2.5. Программно-целевой подход к решению системных задач
- •1. Область применения и этапы программно-целевого подхода
- •2. Дерево целей
- •3.1. Агрегирование системы и эмерджентность
- •3.2. Виды связей в системе
- •Связи взаимодействия (координации):
- •Связи преобразования:
- •3.3. Виды агрегирования
- •4.1. Общие свойства процесса принятия решений
- •4.2. Участники процесса принятия решения
- •4.3. Схема ппр
- •4.4. Формулирование проблемы
- •4.5. Определение целей
- •4.6. Генерирование альтернатив
- •4.7. Формирование критериев
- •4.8. Физиология принятия решений
- •4.9. Виды и особенности задач принятия решений
- •4.10. Формализация принятия решений
- •Лекция 5. Информационное обеспечение ппр
- •5.1. Понятие информации
- •5.2. Информационная структура процесса принятия решений
- •6.1. Особенности группового выбора
- •6.2. Экспертные методы выбора
- •6.3. Методы типа мозговой атаки или коллективной генерации идей
- •6.4. Методы типа сценариев
- •6.5. Методы типа «Делфи»
- •6.6. Методы типа дерева целей
- •6.7. Морфологические методы
- •7.1 Основные положения теории управления
- •7.2 Аксиомы теории управления
- •7.3 Модели основных функций организационно-технического управления
- •7.4 Описание функций управления
- •Лекция 8. Понятие и классификация моделей
- •8.1 Понятие модели, моделирования
- •8.2 Познавательные и прагматические модели
- •8.3 Статические и динамические модели
- •8.4 Классификация моделей по способу воплощения
- •8.5 Место математического моделирования в системных исследованиях
- •8.6 Типы и виды математических моделей
- •8.7 Процесс построения математической модели
- •8.8 Структура моделирования происшествий в техносфере
- •9.1 Конфликт ‒ предмет рассмотрения теории игр
- •9.2 Понятие игры. Классификация игр. Формальное представление игр
- •9.3 Определение бескоалиционной игры
- •9.4 Приемлемые ситуации и ситуации равновесия
- •9.5 Примеры игровых задач
- •10.1 Граф и его виды
- •10.2 Задача о кратчайшем пути
- •10.3 Задача о максимальном потоке
- •11.1 Поверхность отклика
- •11.2 Этапы планирования эксперимента
- •11.3 Обработка и анализ результатов моделирования
- •12.1 Полный факторный эксперимент
- •12.2 Дробный факторный эксперимент
- •12.3 Метод наименьших квадратов
- •13.1 Основная цель кластерного анализа
- •13.2 Объединение (древовидная кластеризация)
- •13.3 Двувходовое объединение
- •13.4 Метод k средних
- •13.5 Алгоритм нечеткой кластеризации
- •14.1 Понятие когнитивного моделирования
- •14.2 Подсистема представления субъективной информации
- •14.3 Подсистема извлечения предпочтений эксперта
- •14.4 Подсистема обработки
- •14.5 Подсистема представления результатов моделирования
- •14.6 Подсистема поддержки аналитической деятельности эксперта
- •14.7 Моделирование бизнес процессов на основе bpmn-диаграмм
- •14.8 Метод анализа иерархий (маи): введение
- •14.9 Основные принципы маи
- •1. Принцип идентичности и декомпозиции
- •2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений
- •3. Принцип синтеза
- •14.10 Общая оценка маи как метода принятия решений
- •15.1 Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •15.2 Сети одномерных конечных элементов
- •15.3 Виды конечных элементов
- •16.1 Основные понятия
- •16.2 Приближенное решение оду при заданных начальных условиях
- •16.3 Метод Эйлера и его модификации
- •16.4 Метод Рунге-Кутта
- •16.5 Приближенное решение ду n-го порядка при заданных начальных условиях
- •16.6 Приближенное решение ду при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •16.6.1 Метод начальных параметров
- •16.6.2 Редукция к задаче Коши для линейного ду второго порядка
- •17.1 Основные понятия
- •17.2 Типы элементов
- •17.3 Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •17.4 Метод получения топологических уравнений
- •18.1 Свойства задач принятия решения со многими критериями
- •18.2. Формирование множества критериев
- •18.3 Методология решения многокритериальных задач
- •18.4 Технологии отыскания эффективных решений
- •18.5 Методы принятия решения при нескольких критериях
11.3 Обработка и анализ результатов моделирования
Для обработки данных эксперимента существуют различные методы, зависящие от целей исследования и вида получаемых при моделировании характеристик.
В результате эксперимента получают набор данных, между которыми может существовать или отсутствовать функциональная либо структурная связь. Если такая связь между факторами и откликом существует, то она проявляется в эксперименте в неявном виде, а для использования результатов эксперимента в практических целях неявную зависимость следует сделать явной и представить ее в виде функции, системы уравнений, номограммы, графика и т. п. Если функциональная зависимость между факторами и откликом не существует, то следует обработать их независимо друг от друга по правилам математической статистики.
Первым шагом при записи аналитического выражения, аппроксимирующего требуемую зависимость, является нанесение экспериментальных точек на график в прямоугольной системе координат, В результате будет получена диаграмма разброса (рис. 2), из которой часто удается визуально найти плавную кривую и определить соответствующую ей функциональную зависимость. Точки, изображенные на рис. 3.6, а, группируются около прямой, а точки, показанные на схеме б, соответствуют кривой. Описание точек схемы в зависит от задач эксперимента: это может быть прямая линия или некоторая периодическая функция. При построении диаграммы разброса нужно иметь в виду постоянно возникающую трудность графического изображения соотношений, связывающих большое число переменных. Частично эту трудность можно преодолеть, построив несколько графиков, каждый из которых отражает зависимость функции отклика от одной переменной при фиксированных значениях всех остальных.
Рис. 2. Диаграммы разброса
Задачу подбора вида функции, наилучшим образом соответствующей конфигурации кривой, называют подгонкой кривых по точкам. Для этой цели используют графические изображения наиболее характерных функций, некоторые из которых показаны на рис. 3.
ри подгонке кривых по точкам прежде всего следует определить количественный принцип соответствия теоретической функции экспериментальным точкам. В качестве меры такого соответствия было бы логичным принять минимальные отклонения по всем точкам, т. е. суммы всех отклонений. Но поскольку отклонения теоретических значений от экспериментальных могут быть положительными и отрицательными, то с математической точки зрения проще предварительно возвести эти отклонения в квадрат и обеспечить минимум для суммы квадратов отклонений. Этот метод, названный методом наименьших квадратов, соответствует критерию наилучшего приближения.
а)
б)
в)
Рис. 3. Различные виды регрессионных кривых
Для поиска математических зависимостей между переменными по накопленным экспериментальным данным обычно используют методы регрессионного и корреляционного анализов. Регрессионный анализ дает возможность построить по экспериментальным данным уравнение, а корреляционный анализ позволяет судить, насколько хорошо экспериментальные точки согласуются с выбранным уравнением, а также насколько тесна связь между двумя и более величинами, наблюдаемыми и фиксируемыми при моделировании.
Регрессионный анализ. Математический метод, обеспечивающий такую подгонку выбранной кривой, при которой экспериментальные точки описывают ее наилучшим образом в смысле критерия наименьших квадратов, называют регрессионным анализом.
Корреляционный анализ. Наилучшее приближение теоретической кривой к экспериментальным данным еще не означает, что реально существующая физическая зависимость соответствует именно этой кривой. Наглядный этому пример дает рис. 3, в. Описание экспериментальных точек прямой линией вполне соответствует методу наименьших квадратов, но не соответствует физической сущности явления, если мы не постулируем приближенное представление последнего в линейной постановке.
Для оценки согласованности экспериментальных точек с теоретическими прогнозами используют понятие корреляции. Если регрессия определяет эту согласованность по форме, то корреляция показывает, насколько точно она отражает действительность. Вместе с тем корреляция между переменными означает лишь то, что их изменения взаимосвязаны, однако это еще не доказывает наличие причинно-следственной связи между переменными.
Мерой корреляционной связи между переменными X a Y служит коэффициент корреляции rху, представляющий собой отношение корреляционного момента (математического ожидания произведения отклонений X и Y) к произведению средних квадратических отклонений этих величин
Для случая простой линейной регрессионной задачи (т.е. для случая, когда имеются одна зависимая и одна независимая переменные, связанные между собой линейно) коэффициент корреляции вычисляют по формуле
(2)
Коэффициент корреляции лежит в пределах от -1 до +1. Коэффициент корреляции, равный нулю, соответствует полному отсутствию корреляции (рис. 4, а). При наличии слабой (схема б) или сильной (схема в) положительной корреляции коэффициент корреляции соответственно равен +1 или близок к нему. Если этот коэффициент равен ‒ 1, то имеет место сильная отрицательная корреляция (схема г).
Рис. 4. Виды корреляции
Литература:
1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. – Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. – 206 с.
Лекция 12. Методы получения регрессионных уравнений