- •Системный анализ и моделирование процессов в техносфере
- •1.1. Понятие системы. Базовые категории систем
- •1.2. Классификация систем
- •1.3. Общее представление о системном анализе
- •1.4. Принципы системного анализа
- •2.1. Этапы анализа и синтеза
- •2.2. Понятие о структурном анализе
- •2.3. Методы декомпозиции
- •2.4. Требования, предъявляемые к декомпозиции
- •2.5. Алгоритм декомпозиции
- •2.5. Программно-целевой подход к решению системных задач
- •1. Область применения и этапы программно-целевого подхода
- •2. Дерево целей
- •3.1. Агрегирование системы и эмерджентность
- •3.2. Виды связей в системе
- •Связи взаимодействия (координации):
- •Связи преобразования:
- •3.3. Виды агрегирования
- •4.1. Общие свойства процесса принятия решений
- •4.2. Участники процесса принятия решения
- •4.3. Схема ппр
- •4.4. Формулирование проблемы
- •4.5. Определение целей
- •4.6. Генерирование альтернатив
- •4.7. Формирование критериев
- •4.8. Физиология принятия решений
- •4.9. Виды и особенности задач принятия решений
- •4.10. Формализация принятия решений
- •Лекция 5. Информационное обеспечение ппр
- •5.1. Понятие информации
- •5.2. Информационная структура процесса принятия решений
- •6.1. Особенности группового выбора
- •6.2. Экспертные методы выбора
- •6.3. Методы типа мозговой атаки или коллективной генерации идей
- •6.4. Методы типа сценариев
- •6.5. Методы типа «Делфи»
- •6.6. Методы типа дерева целей
- •6.7. Морфологические методы
- •7.1 Основные положения теории управления
- •7.2 Аксиомы теории управления
- •7.3 Модели основных функций организационно-технического управления
- •7.4 Описание функций управления
- •Лекция 8. Понятие и классификация моделей
- •8.1 Понятие модели, моделирования
- •8.2 Познавательные и прагматические модели
- •8.3 Статические и динамические модели
- •8.4 Классификация моделей по способу воплощения
- •8.5 Место математического моделирования в системных исследованиях
- •8.6 Типы и виды математических моделей
- •8.7 Процесс построения математической модели
- •8.8 Структура моделирования происшествий в техносфере
- •9.1 Конфликт ‒ предмет рассмотрения теории игр
- •9.2 Понятие игры. Классификация игр. Формальное представление игр
- •9.3 Определение бескоалиционной игры
- •9.4 Приемлемые ситуации и ситуации равновесия
- •9.5 Примеры игровых задач
- •10.1 Граф и его виды
- •10.2 Задача о кратчайшем пути
- •10.3 Задача о максимальном потоке
- •11.1 Поверхность отклика
- •11.2 Этапы планирования эксперимента
- •11.3 Обработка и анализ результатов моделирования
- •12.1 Полный факторный эксперимент
- •12.2 Дробный факторный эксперимент
- •12.3 Метод наименьших квадратов
- •13.1 Основная цель кластерного анализа
- •13.2 Объединение (древовидная кластеризация)
- •13.3 Двувходовое объединение
- •13.4 Метод k средних
- •13.5 Алгоритм нечеткой кластеризации
- •14.1 Понятие когнитивного моделирования
- •14.2 Подсистема представления субъективной информации
- •14.3 Подсистема извлечения предпочтений эксперта
- •14.4 Подсистема обработки
- •14.5 Подсистема представления результатов моделирования
- •14.6 Подсистема поддержки аналитической деятельности эксперта
- •14.7 Моделирование бизнес процессов на основе bpmn-диаграмм
- •14.8 Метод анализа иерархий (маи): введение
- •14.9 Основные принципы маи
- •1. Принцип идентичности и декомпозиции
- •2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений
- •3. Принцип синтеза
- •14.10 Общая оценка маи как метода принятия решений
- •15.1 Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •15.2 Сети одномерных конечных элементов
- •15.3 Виды конечных элементов
- •16.1 Основные понятия
- •16.2 Приближенное решение оду при заданных начальных условиях
- •16.3 Метод Эйлера и его модификации
- •16.4 Метод Рунге-Кутта
- •16.5 Приближенное решение ду n-го порядка при заданных начальных условиях
- •16.6 Приближенное решение ду при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •16.6.1 Метод начальных параметров
- •16.6.2 Редукция к задаче Коши для линейного ду второго порядка
- •17.1 Основные понятия
- •17.2 Типы элементов
- •17.3 Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •17.4 Метод получения топологических уравнений
- •18.1 Свойства задач принятия решения со многими критериями
- •18.2. Формирование множества критериев
- •18.3 Методология решения многокритериальных задач
- •18.4 Технологии отыскания эффективных решений
- •18.5 Методы принятия решения при нескольких критериях
2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений
Данный принцип реализуется на втором этапе МАИ. Суть его заключается в том, что, используя суждения ЛПР/эксперта и определенные алгоритмы их обработки, устанавливаются веса ij дуг (i,j)W и веса Zj объектов первого уровня ( j V1 ). Если на первом уровне один объект, то вес его принимается за 1 ( Z1 = 1).
Суждения ЛПР/эксперта являются результатом исследования его структуры предпочтений. При этом исследовании применяется метод парных сравнений, содержание которого состоит в следующем. Пусть задано некоторое фиксированное множество объектов , которые сравниваются попарно с точки зрения их предпочтительности, желательности, важности и т. п. Результаты записываются в виде матрицы парных сравнений .
Результат сравнения отражает не только факт, но и степень (силу, интенсивность и т.п) превосходства. При этом используется шкала относительной важности, выбор которой зависит от следующих требований:
шкала должна давать возможность улавливать различия в ощущениях людей, когда они проводят сравнение;
диапазон измеряемой интенсивности шкалы должен соответствовать результатам когнитивной психологии.
Удовлетворяет этим требованиям шкала, приведенная в табл.
Шкала относительной важности
Количественная оценка интенсивности относительной важности |
Качественная оценка интенсивности относительной важности |
Пояснения |
1 |
Равная важность |
Равный вклад двух объектов |
3 |
Умеренное превосходство одного над другим |
Опыт и суждения дают легкое превосходство одного объекта над другим |
5 |
Существенное или сильное превосходство |
Опыт и суждения дают сильное превосходство одного объекта над другим |
7 |
Значительное превосходство |
Один объект имеет настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным |
9 |
Очень сильное превосходство |
Очевидность превосходства одного объекта над другим подтверждается наиболее сильно |
2,4,6,8 |
Промежуточные решения между двумя соседними суждениями |
Применяются в компромиссном случае |
Обратные величины приведенных выше чисел |
Если объекту i при сравнении с объектом j приписывается одно из приведенных выше чисел, то действию j при сравнении с i приписывается обратное значение |
|
Из шкалы следует свойство гомогенности (однородности) объектов. Это свойство соответствует способности людей сравнивать объекты, которые не слишком сильно отличаются друг от друга. Гомогенность существенна для сравнения объектов одного порядка, т.к. человеческий разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда эта несопоставимость большая, объекты располагаются в отдельные кластеры сравниваемых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпозиции.
Пример
Рассмотрим метод парных сравнений на примере покупки дома.
Рис. 16. Иллюстрация к методу парных сравнений
Допустим необходимо оценить предпочтения ЛПР/эксперта на множестве вариантов А, В, С относительно критерия ‒ размера дома. Лучше всего эту задачу свести к заполнению таблицы:
Матрица парных сравнений
Размер дома |
Вариант А |
Вариант В |
Вариант С |
Вариант А |
1 |
1/3 |
5 |
Вариант В |
3 |
1 |
1/7 |
Вариант С |
1/5 |
7 |
1 |
Размерность таблицы определяется количеством дуг, которые входят в рассматриваемую вершину. Элементы таблицы rij, i, j = 1, 3 являются количественной оценкой интенсивности предпочтения i ‒ го объекта, находящегося в i ‒ й строке, относительно j ‒ гo объекта, находящегося в j ‒ м столбце, в соответствии с вышерассмотренной шкалой. При этом сравнении ЛПР/эксперту задавался следующий вопрос : насколько один вариант (например А) превосходит по размеру другой вариант (например С)? Ответом ЛПР/эксперта, как следует из таблицы, было следующее суждение: существенное или сильное превосходство.
Таким же образом осуществляется оценка предпочтений ЛПР/эксперта относительно остальных критериев путем заполнения еще пяти аналогичных матриц размерностью 3x3. После чего метод парных сравнений распространяется на множество самих критериев относительно Цели ‒ покупки дома. В этом случае ЛПР/эксперту задается следующий вопрос: насколько важнее один критерий (например, размер дома) для Реализации цели по сравнению с другим (например, финансовые условия)? Как следует из иерархии, размерность этой таблицы 6x6.
Принимая во внимание свойство матрицы, т. е.:
и, как следствие, rii =1, количество вопросов равно n*(n-1)/2
Формализацией понятия непротиворечивости для метода парных сравнений является выполнение следующего равенства:
r*ij = r*ik r*kj i,j,k (1)
где r*ij ‒ это элементы матрицы полученные в результате идеально согласованного эксперимента. Соотношение (1) соответствует правилу логического вывода, которое в этом случае формулируется следующим образом: если i-й объект предпочтительнее k-го объекта на r*ik и k-й объект предпочтительнее j-го объекта на r*kj , то i-й объект предпочтительней j-го объекта на r*ij, причем r*ij = r*ik r*kj .
Теорема. Если матрица R* обладает свойством (1), то тогда существуют такие числа *i > 0, что имеет место равенство:
(2)
Числа отождествляются с весами дуг (это множество W в графе G) либо с весами объектов первого уровня (это Zi, i V1).
Матрица R* имеет единичный ранг, , собственный вектор матрицы, где n ‒ соответствующее ей собственное число.
Действительно,
(3)
Практически добиться полной согласованности (т.е. непротиворечивости) суждений ЛПР/эксперта далеко не всегда возможно. Поэтому в общем случае rij будут отклоняться от "идеальных"
вследствие чего соотношения 1, 2, 3 не будут иметь место.
Для дальнейшего анализа полезными являются следующие два факта из теории матриц:
Во-первых, если 1, ..., n , являются собственными числами матрицы R и если
Согласно этому утверждению, если имеет место (3) (т.е. матрица является идеально согласованной), то все собственные числа ее ‒ нули, за исключением одного, равного n.
Во-вторых, если элемент положительной обратносимметричной матрицы R незначительно изменить, то собственные числа этой матрицы также изменятся незначительно, т.е. они являются непрерывными функциями ее элементов.
Объединяя эти результаты, находим, что при малых изменениях rij от r*ij наибольшее собственное число max (практически получаемой матрицы R при использовании метода парных сравнений) остается близким к n, a остальные собственные значения ‒ близкими к нулю.
Отсюда можно сформулировать следующую задачу: для нахождения весов дуг или объектов первого уровня по полученной в результате метода парных сравнений матрице R необходимо определить собственный вектор , соответствующий максимальному собственному числу, т.е. решить уравнение :
(4)
Так как малые изменения в вызывают малое изменение max, отклонение последнего от n является мерой согласованности. Она может быть выражена с помощью индекса согласованности (ИС):
(5)
Если ИС 0,1, то практически считается, что мера согласованности находится на приемлемом уровне.
Индекс согласованности матрицы парных сравнений, элементы которой сгенерированы случайным образом, называется случайным индексом (СИ). Ниже представлена таблица соответствия порядка и среднего значения СИ, определенная на базе 100 случайных выборок.
Таблица средних значений СИ
Порядок матрицы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
СИ |
0,00 |
0,00 |
0,58 |
0,9 |
1,12 |
1,24 |
1,32 |
1,41 |
1,45 |
1,49 |
Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС меньшее или равное 0,10 считается приемлемым. Обычно ИС и ОС указываются в процентах. Согласно определению, ИС можно трактовать как отклонение от идеально проведенного эксперимента (метода парных сравнений), а ОС указывает, на сколько оцениваемая степень согласованности сходится со степенью согласованности самого неидеально проведенного эксперимента.
Таким образом, МАИ допускает несогласованность (как неотъемлемую часть метода), признавая, что человеческие суждения находятся в постоянном процессе изменения и эволюции (поэтому не следует настаивать на 100% согласованности, так как суждения могут измениться после того, как проблема решена). Но надежные решения не могут быть приняты без приемлемого уровня согласованности.
Существуют два метода решения уравнения RV = maxV .Это прямой и итерационный.
Рассмотрим прямой метод. Проверим алгоритм данного метода. R ‒ идеально согласованная матрица, т. е.
1. Определим среднее геометрическое каждой строки R:
2. Вычислим сумму средних геометрических
Разделим среднее геометрическое каждой строки R на сумму средних геометрических строк:
т. е. получили нормированное значение собственного вектора.
Для получения max выполним следующие шаги:
1. Определим сумму элементов для каждого столбца матрицы R:
2. Определим скалярное произведение векторов:
что соответствует максимальному собственному числу для идеально согласованной матрицы.
Итерационный метод основан на следующей теореме:
Для положительной квадратной матрицы R собственный вектор V, соответствующий максимальному собственному значению max, с точностью до постоянного сомножителя C определяется по формуле:
где e = (1, 1, ..., 1)T ‒ единичный вектор
k = 1, 2, 3,… показатель степени
C – константа
Т – знак транспонирования
Вычисление собственного вектора V производится до достижения заданной точности:
eT|V(l) ‒ V(l-1)|
где l – номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2 и т. д.
‒ допустимая погрешность
С достаточной для практики точностью принимается равной 0,01 независимо от порядка матрицы.
Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:
max = eTRV