9.2 Понятие игры. Классификация игр. Формальное представление игр

Игрой называется математическая модель конфликта.

Математическая модель конфликта должна отражать присущие ему черты, а значит, должна описывать:

• множество заинтересованных сторон (игроков);

• возможные действия каждой из сторон (стратегии и ходы);

• интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков общеизвестны, т.е. каждый из игроков знает свою функцию выигрыша и набор имеющихся в его распоряжении стратегий, а так же функции выигрыша и стратегии всех остальных игроков. В соответствии с этой информацией каждый из игроков организует свое поведение.

Различные виды игр можно классифицировать следующим образом:

• по числу игроков;

• по числу стратегий;

• по свойствам функции выигрыша;

• по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

По числу игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. В принципе возможны так же игры с бесконечным числом игроков.

По числу стратегий различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий. Например, в игре в орлянку у игроков по две стратегии ‒ «орел» или «решка». В бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий. Например, при взаимодействии продавца и покупателя каждый из игроков может назвать любую цену и любое количество продаваемого (покупаемого) товара.

По свойствам функции выигрыша различают игры:

• с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками;

• с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща;

• с ненулевой суммой, где есть и конфликты, и согласованные действия игроков.

По возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях (например, образование коалиций в парламенте перед голосованием по некоторым вопросам).

Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной (например, все игры с нулевой суммой).

Рассмотрим примеры формального представления игр.

Обозначим через I множество всех игроков, через St ‒ множество возможных действий игрока i , называемое множеством стратегий.

Например:

а) игра в орлянку

I = {1, 2}, Sf = {Орел, Решка};

б) голосование в парламенте

I = {1, 2, ..., n},

где n ‒ число голосующих, Si = {За, Против, Воздержался};

в) взаимодействие на рынке двух продавцов

I = {1, 2} Si = {Pi: Pi > 0},

где Pi ‒ цена продаваемого товара.

В партии игроки выбирают каждый свою стратегию , в результате чего складывается набор стратегий s = (s1, s2,…,sn), называемый ситуацией.

В рассмотренных выше примерах приведем возможные ситуации:

а) (Орел, Орел), (Орел, Решка), (Решка, Орел), (Решка, Решка);

б) (За, За, Против, За, Воздержался, … , Против);

в) (5 рублей, 3 рубля), (5 рублей, 7 рублей).

Заинтересованность игроков в конкретных ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации s присваивается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается Нi(s).

Вернемся к указанным выше примерам.

В игре в орлянку.

Н1(Орел, Орел) = Н1(Решка, Решка) = 1,

Н1(Орел, Решка ) = Н1 (Решка, Орел ) = -1,

Н2(Орел, Орел) = Н2(Решка, Решка) = -1,

Н2(Орел, Решка) = Н2(Решка, Орел) = 1.

Видно, что в любой ситуации Н1 + Н2 = 0.

Запишем это в виде матрицы выигрышей, где строки будут соответствовать стратегиям 1-го игрока, столбцы ‒ стратегиям 2-го игрока.

При этом или Н1 + Н2 = 0.

Таким образом, орлянка является примером игры с нулевой суммой.

При голосовании в парламенте считается, что вопрос прошел при большем количестве проголосовавших «За», чем «Против», в противном случае – вопрос не прошел. Получаем:

В случае взаимодействия на рынке двух продавцов предположим, что потребитель приобретет товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределит свой спрос поровну между фирмами в случае, если цены равны.

Если d(p) ‒ функция спроса в зависимости от цены на товар, то функция выигрыша.