Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. В цехе работают 3 станка. Вероятность отказа в течение смены для первого станка равна 0,1; для второго станка – 0,2 и для третьего – 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают: а) только один станок; б) два станка; в) хотя бы один станок.

З адание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7.

Задание 3. В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников, 15 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера равна 0,2, для второразрядника эта вероятность равна 0,1. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность того, что это был второразрядник?

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 4 раза. Определить вероятность того, что цифра выпадет 7 раз.

Задание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: 70 m 95.

З адание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства 2 <  < 2,3.

Задание 7. Для приведенной ниже выборки: а) определить размах выборки, построить дискретный статистический ряд и изобразить его графически в виде полигона; б) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график; в) вычислить выборочные: среднее , моду , медиану , дисперсию .

Выборка
14	15	16	11	11	16	12	12	17	14
15	15	14	12	13	13	13	14	14	13
17	14	13	15	15	12	11	14	13	15
Объем выборки: n = 30.

Задание 8. В предположении, что выборка получена из нормально распределенных генеральных совокупностей, требуется найти 95%-ные доверительные интервалы: а) для генерального среднего; б) для генерального среднего квадратичного отклонения.

Данные о скорости 10 автомобилей в некоторой точке трассы (в км/ч):

70 85 63 54 65 80 75 95 52 55

Задание 9. Для приведенной ниже выборки (предполагается, что выборка получена из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющая нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) найти уравнение прямой регрессии Y на X и построить ее график; в) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции r и проверить его значимость при α = 0,05.

Результаты 10 измерений, полученных на химическом производстве в течении рабочей смены о зависимости выхода продукта Y (в кг/ч) от температуры реакции X (в 0С):

X	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
Y	5	15	22	39	53	56	64	79	94	100

Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. На склад с трех предприятий поступает продукция первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% второго сорта изделий; продукции второго – 25% и третьего – 30% второсортных изделий. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортные: а) одно изделие; б) два изделия; в) хотя бы два изделия?

З адание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7; р₄ = 0,6.

Задание 3. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 штук из первого цеха, а из второго и третьего цехов соответственно в 2 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, второго – 20% брака, а третьего – 25%. Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов.

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 4 раза. Определить вероятность того, что цифра выпадет 3 раза.

З адание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: 83 m 93.

Задание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства 2 <  < 2,8.

Задание 7. Для приведенной ниже выборки: а) определить размах выборки, построить дискретный статистический ряд и изобразить его графически в виде полигона; б) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график; в) вычислить выборочные: среднее , моду , медиану , дисперсию .

Выборка
12	12	11	13	14	12	11	11	13	13
14	13	12	14	15	10	14	12	13	14
13	15	11	13	13	13	14	13	12	10
Объем выборки: n = 30.

Задание 8. В предположении, что выборка получена из нормально распределенных генеральных совокупностей, требуется найти 95%-ные доверительные интервалы: а) для генерального среднего; б) для генерального среднего квадратичного отклонения.

Данные хронометража операции пайки 35 радиаторов(в мин.) на ремонтном предприятии:

Время пайки, мин	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Кол-во радиаторов	2	5	10	17	1

Задание 9. Для приведенной ниже выборки (предполагается, что выборка получена из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющая нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) найти уравнение прямой регрессии Y на X и построить ее график; в) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции r и проверить его значимость при α = 0,05.

Данные об уровне механизации работ X (в %) и производительности труда Y (в т/ч) для 10 промышленных предприятий города:

X	30	32	36	40	41	47	54	60	69	76
Y	24	20	28	30	31	33	37	38	45	48

Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. К испытываемому устройству подключили 3 прибора. Вероятности выхода их строя приборов соответственно равны 0,3; 0,2; 0,15. Требуется найти вероятность того, что за время проведения испытания останутся работоспособными: а) один прибор; б) два прибора; в) хотя бы два прибора.

З адание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7; р₄ = 0,6.

Задание 3. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт оказался: а) дефектным; б) произведенным первой, второй или третьей машинами, если он оказался дефектным?

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 3 раза. Определить вероятность того, что цифра выпадет 6 раз.

Задание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: 50 m 60.

З адание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства –0,7 <  < 1,1.

Задание 7. Для приведенной ниже выборки: а) определить размах выборки, построить дискретный статистический ряд и изобразить его графически в виде полигона; б) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график; в) вычислить выборочные: среднее , моду , медиану , дисперсию .

Выборка
19	18	20	16	16	17	19	19	20	14
20	21	21	21	16	21	22	18	17	22
20	19	19	21	21	17	17	21	18	18
Объем выборки: n = 30.

Задание 8. В предположении, что выборка получена из нормально распределенных генеральных совокупностей, требуется найти 95%-ные доверительные интервалы: а) для генерального среднего; б) для генерального среднего квадратичного отклонения.

Данные о производительности механического цеха завода (в условных единицах) в течение 12 рабочих дней:

13,0	13,1	13,0	12,5	12,8	12,3
12,1	12,2	12,1	12,7	12,0	12,6

Задание 9. Для приведенной ниже выборки (предполагается, что выборка получена из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющая нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) найти уравнение прямой регрессии Y на X и построить ее график; в) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции r и проверить его значимость при α = 0,05.

Результаты измерений предела выносливости стали при изгибе Y (в н/мм2) и предела упругости стали при кручении X (в н/мм2) для 10 марок стали:

X	51	51	67	71	81	84	89	97	101	105
Y	25	45	30	43	44	43	45	46	57	55

Тема: " Теория вероятностей и математическая статистика"

Задание 1. Три студента сдают ГТО. Вероятность того, что первый студент сдаст нормативы равна 0,9; второй – 0,85; третий – 0,75. Определить вероятность того, что: а) все три студента сдадут нормы ГТО; б) только один студент сдаст нормы ГТО; в) хотя бы два студента сдадут нормы ГТО.

З адание 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Считается известной надежность p_k k-го элемента (соответственно q_k = 1– p_k – вероятность его отказа). Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вычислить надежность p схемы: р₁ = 0,6; р₂ = 0,5; р₃ = 0,7; р₄ = 0,6.

Задание 3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98 % годных деталей, второй – 99%, а третий – 97 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если она выбрана случайным образом, а производительность автоматов одинакова.

Задание 4. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 6 раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет 5 раз.

Задание 5. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Определить вероятность того, что число m наступлений события удовлетворяет неравенству: 65 m 75.

З адание 6. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М, дисперсию D, функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства –1,5 <  < 0,3.

Задание 7. Для приведенной ниже выборки: а) определить размах выборки, построить дискретный статистический ряд и изобразить его графически в виде полигона; б) составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график; в) вычислить выборочные: среднее , моду , медиану , дисперсию .

Выборка
5	5	4	2	6	2	1	5	3	3	1	5	6
4	3	3	4	1	5	5	3	4	3	7	4	5	6
7	5	2	4	6	6	7	7	3	5	4	4	3
Объем выборки: n = 40.

Задание 8. В предположении, что выборка получена из нормально распределенных генеральных совокупностей, требуется найти 95%-ные доверительные интервалы: а) для генерального среднего; б) для генерального среднего квадратичного отклонения.

Данные о пробеге 120 автомобильных шин (в тыс. км), эксплуатируемых в городских условиях:

Пробег шин, тыс. км	40-42	42-44	44-46	46-48	48-50	50-52
Число шин	4	8	22	36	30	20

Задание 9. Для приведенной ниже выборки (предполагается, что выборка получена из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющая нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) найти уравнение прямой регрессии Y на X и построить ее график; в) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции r и проверить его значимость при α = 0,05.

Результаты 11 измерений величины износа резца Y, определяемой его толщиной (в мм) в зависимости от времени работы X (в часах):

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	30,0	29,1	28,4	28,1	28,0	27,7	27,5	27,2	27,0	26,8	26,5