5.2. Линейная независимость и базис векторов
Система векторов
,
называется линейно
зависимой,
а вектора, составляющие эту систему –
линейно
зависимыми,
если существуют числа
,
не все равные нулю, для которых
.
В противном случае система S называется линейно независимой, а сами вектора этой системы – линейно независимыми.
Выражение
называется линейной
комбинацией
векторов
.
Если числа
линейной комбинации
удовлетворяют условиям
;
,
то тогда она называется
выпуклой линейной комбинацией.
Пусть
–
произвольное множество векторов. Система
векторов
называется базисом
в
,
если выполняются условия:
1)
;
2) система G линейно независима;
3) любой вектор
представим в виде линейной комбинации
векторов системы G,
то есть,
. (5.1)
Формула (5.1)
называется разложением
вектора
по базису
G.
Величины
при этом называются i-ми
координатами
вектора
в базисе
G.
Справедливы следующие утверждения:
1.
Всякая система векторов
имеет по меньшей мере один базис; при
этом все базисы данной системы состоят
из одинакового числа векторов, называемого
рангом
системы
и обозначаемого как
.
2. Ранг всего пространства равен n и называется размерностью этого пространства.
Каноническим
базисом в
называется система единичных векторов
,
где
Компоненты любого вектора одновременно являются его координатами в каноническом базисе.
При исследовании линейной независимости векторов может быть использовано понятие ранга матрицы.
Пример
5.1. Для системы векторов S={
,
,
}
выяснить, является ли она линейно
независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь
базис.
Решение.
Запишем матрицу А, столбцами которой
являются вектора
.
Нетрудно
показать, что
.
Следовательно, заданная система векторов
линейно зависима и ее ранг по теореме
о ранге матрицы (о базисном миноре) также
равен двум. В качестве базисного минора
может быть взят любой отличный от нуля
минор второго порядка, например,
.
Отсюда следует, что вектора
образуют базис заданной системы векторов.
5.3. Геометрическая интерпретация векторов
5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
Непосредственный
геометрический смысл имеют лишь
пространства
Например,
соответствует числовой прямой,
–
плоскости,
–
обычному пространству трех измерений.
Базис
в пространстве
называется прямоугольным,
если векторы
перпендикулярны и имеют единичную
длину. Аналогично, базис
в
пространстве
называется прямоугольным,
если векторы
попарно перпендикулярны и имеют единичную
длину. Прямоугольные декартовы системы
координат в
и
определяется расположением своих
координатных осей вдоль векторов базисов
(рис. 5.1) и
(рис. 5.2)соответственно.
Длиной,
или модулем вектора
называется число
,
если
и
–
компоненты этого вектора в прямоугольной
декартовой системе координат, что
следует из теоремы Пифагора (рис. 5.1).
Рис.5.1.
Модуль
равен длине гипотенузы треугольника
OPQ
В трехмерном
пространстве длина вектора с компонентами
будет равна
.
Рассмотрим
трехмерное пространство
.
Каждому вектору
,
то есть каждой упорядоченной тройке
чисел
в этом пространстве соответствует точка
с координатами
в прямоугольной декартовой системе
координат или отрезок (вектор
),
направленный в эту точку из точки начала
координат. Отметим, что любому вектору
в
или
можно
сопоставить направленный отрезок не
единственным способом. Действительно,
в случае пространства трех измерений
возьмем какую-нибудь точку В
с координатами
и построим точку С
с координатами
(рис.5.2):
Рис
5.2. Геометрическая интерпретация вектора
Направленный
отрезок (вектор)
с началом в точке В и концом в точке
С имеет своими проекциями на
координатные оси координаты вектора
,
так что
.
Если взять в качестве начала отрезка
другую точку, то мы получим другое
изображение того же вектора
(например
на рис. 5.2 таким вектором является отрезок
с началом в точке О и концом в точке
А). Если начало вектора зафиксировано,
то такой вектор называют связанным.
В противном случае его называют свободным
вектором или просто вектором.
Таким образом, в геометрической
интерпретации под термином вектор
понимается любой элемент из множества
отрезков фиксированной длины и одного
и того же направления.
В
результате сложения векторов
и
получается
вектор
,
который может быть построен либо по
правилу параллелограмма либо по
правилу треугольника (рис. 5.3). При
этом компоненты вектора
удовлетворяют соотношению
.
Рис. 5.3. Сложение векторов
Умножение
вектора
на число
дает вектор
того же направления, но в
раз длиннее. Если же
,
то вектор
будет направлен противоположно. В любом
случае
.
Векторы,
расположенные на одной или параллельных
прямых, называются коллинеарными.
Векторы называются компланарными,
если их не меньше трех и все они лежат
в одной плоскости. Расстояние
между точками
и
полагается равным
.
Для любых
справедливо неравенство треугольника:
,
которое может интерпретироваться
следующим образом: сумма длин двух
сторон треугольника не меньше длины
его третей стороны.
Скалярным
произведением ненулевых векторов
и
в пространствах
и
называется число
,
где
– угол между двумя ненулевыми векторами
и
.
Если векторы
и
заданы координатами в прямоугольном
базисе, причем
,
то скалярное произведение равно
.
При этом
.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1)
вектора
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда
;
2) если – угол между двумя ненулевыми векторами и , то
;
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1)
,
2).
,
3)
4)
,
причем равенство возможно лишь тогда,
когда
5)
(неравенство Буняковского).
Векторное
произведение. Упорядоченная тройка
некомпланарных векторов называется
правой, если наблюдателю, находящемуся
внутри телесного угла, образованного
этими векторами, кратчайшие повороты
от
к
и от
к
кажутся происходящими против часовой
стрелки. В противном случае тройка
называется левой. Векторным
произведением вектора
на вектор
называется вектор
,
обозначаемый символом
,
определяемый следующими тремя условиями:
– длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;
– вектор перпендикулярен плоскости векторов и ;
– упорядоченная
тройка векторов
правая.
Компоненты
вектора
в том же, что и векторы
и
,
правом прямоугольном базисе, определяются
выражениями
,
,
.
Свойства векторного произведения
1.
,
2.
,
3.
4.
,
если
и
коллинеарны,
5.
.
Смешанное
произведение. Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов
называется число
.
Геометрические свойства смешанного произведения:
1. Если V– объем параллелепипеда, построенного на векторах , то
2.
Для того чтобы три вектора
были компланарны, необходимо и достаточно
выполнения условия
.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, то есть:
.
Смешанное произведение через координаты векторов в правом прямоугольном базисе может быть записано в виде определителя:
.