Министерство образования и науки рф

Национальный исследовательский

Томский государственный университет

В.И. Рюмкин

Матрицы и векторы в экономике

Томск

2011

ББК

Б 51

УДК 519.8.32.8

В учебном пособии приведены краткие сведения из теории матричной и векторной алгебры. Представлено матричное описание простейших экономических моделей. Даны практические рекомендации по применению элементов матричной и векторной алгебры для решения прикладных задач экономики. Представлены примеры задач для самостоятельной работы.

Учебное пособие разработано для студентов экономического факультета дневной и вечерней форм обучения ТГУ, а также студентов Высшей школы бизнеса ТГУ.

УДК 519.8.32.8

Рецензент – профессор С.Н. Колупаева

© Рюмкин В.И.

1. Матрицы

1.1. Определения

Произвольная совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется числовой матрицей порядка (размера) . Сами числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Пронумеруем строки матрицы сверху вниз и столбцы слева направо. Элемент матрицы A, стоящий в i-й строке и j-м столбце, обозначается как . Числа i и j при этом называются соответственно индексом строки и индексом столбца элемента матрицы. Они определяют местоположение данного элемента в матрице.

Общепринятыми формами записи матриц являются следующие:

.

Индекс матрицы показывает число строк и столбцов, содержащихся в этой матрице, и приписывается в случае, когда необходимо подчеркнуть размер (порядок) этой матрицы.

Если у матрицы имеется только одна строка и один столбец, т.е., , то такая матрица называется скаляром. Матрица, у которой имеется только одна строка ( ), называется вектор-строкой; матрица, у которой имеется только один столбец ( ), называется вектор-столбцом. Вектор-столбцы принято помечать сверху стрелкой. Запись означает, что представляет собой вектор-столбец, состоящий из n числовых элементов.

Если количества строк и столбцов матрицы равны между собой, то есть , то такая матрица называется квадратной. Элементы квадратной матрицы, у которых индексы строки равны индексам столбца, называются элементами главной диагонали этой матрицы. Элементы главной диагонали лежат на отрезке прямой, проведенной из левого верхнего в правый нижний угол квадратной матрицы. Элементы квадратной матрицы, которые лежат на отрезке прямой, проведенной из правого верхнего в левый нижний угол, называются элементами побочной диагонали этой матрицы. Индексы элементов побочной диагонали удовлетворяют условию . Нулевой матрицей О называется произвольная матрица, все элементы которой равны нулю. Единичной матрицей Е называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю. Треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой над главной диагональю или под главной диагональю равны нулю. Квадратная матрица называется симметрической, если для всех ее элементов выполняется соотношение , и кососимметрической, если . Элементы главной диагонали кососимметрической матрицы всегда равны нулю.

Пример 1.1. (1) – скаляр; вектор-строка; вектор-столбец; единичные матрицы; нулевая матрица; треугольная матрица; симметрическая матрица; кососимметрическая матрица.