- •Министерство образования и науки рф
- •Национальный исследовательский
- •Томский государственный университет
- •В.И. Рюмкин
- •Матрицы и векторы в экономике
- •1. Матрицы
- •1.1. Определения
- •1.2. Операции над матрицами
- •1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
- •1.4. Числовые функции от матриц
- •1.5. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Понятие определителя и его свойства
- •2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
- •2.3. Задачи
- •3. Ранг матрицы
- •3.1. Основные понятия и примеры
- •3.2. Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы
- •3.3. Методы поиска ранга матрицы
- •3.3.1. Метод окаймляющих миноров
- •3.3.2. Метод элементарных преобразований
- •3.4. Задачи
- •4. Обратная матрица
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Методы поиска обратной матрицы
- •4.2.1. Метод союзной матрицы
- •4.2.2. Метод элементарных преобразований
- •4.3. Задачи
- •5. Векторы
- •5.1. Операции над векторами
- •5.1.1. Алгебраические операции над векторами
- •5.2. Линейная независимость и базис векторов
- •5.3. Геометрическая интерпретация векторов
- •5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
- •5.3.2. Многомерные пространства
- •5.4. Задачи
- •6. Линейные преобразования
- •6.1. Основные сведения
- •6.2. Преобразование базиса
- •6.3. Характеристические числа и векторы
- •6.4. Задачи
- •7. Применение векторов и матриц в экономике
- •7.1. Балансовая модель Леонтьева
- •7.2. Модель равновесных цен
- •7.3. Модель международной торговли (модель обмена)
- •7.4. Задачи
- •Литература
- •Оглавление
6.2. Преобразование базиса
Координаты вектора зависят от выбора базиса. Пусть вектор в «старом» базисе имеет координаты , а в «новом» базисе – координаты (см. рис.6.1 для случая ).
Рис.6.1. Преобразование базиса
Каждый из векторов «нового» базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов «старого» базиса:
6.4)
Полученная система означает, что переход от «старого» базиса к «новому» задается матрицей перехода . Эта матрица не вырождена, так как в противном случае ее строки (а, следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от «нового» базиса к «старому» базису осуществляется с помощью обратной матрицы .
Найдем зависимость между координатами рассматриваемого вектора в «старом» и «новом» базисах. Из формулы (6.1) следует
. (6.5)
Подставляя выражения из системы (6.4) в левую часть равенства (6.5), после преобразований получим:
то есть, в матричной форме
. (6.6)
Полученные формулы (6.6) представляют собой формулы преобразований координат одного и того же вектора при переходе от «старого» базиса к «новому» базису и наоборот.
Пример 6.1. В базисе заданы векторы , , . Показать, что векторы образуют базис и выразить в этом базисе вектор , имеющий в базисе координаты .
Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются :
.
Нетрудно показать, что . Следовательно, , и система векторов линейно независима. Связь между базисами выражается следующим образом:
Матрица перехода от базиса к базису есть . Нетрудно показать, что . Теперь из (6.6) сразу следует
.
Таким образом, новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2; –0,5, и вектор может быть представлен в виде .
6.3. Характеристические числа и векторы
Любое линейное преобразование однозначно определяет матрицу А оператора в заданном базисе пространства .
Ненулевой вектор называется характеристическим (собственным) вектором квадратной матрицы , принадлежащим ее собственному значению , если после преобразования он переходит в вектор, отличающийся от лишь на постоянный множитель , то есть, если
. (6.7)
Числовой множитель называется характеристическим корнем (собственным значением) матрицы А оператора .
Для любого собственного вектора матрицы А, принадлежащего собственному значению и любого числа вектор также является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению .
Многие прикладные задачи экономики сводятся к проблеме отыскания собственных значений и собственных векторов матриц.
Уравнение (6.7) может быть представлено в виде
. (6.8)
Матрица называется характеристической матрицей.
Нетривиальное (ненулевое) решение уравнения (6.8) существует лишь в том случае, если определитель характеристической матрицы равен нулю:
. (6.9)
Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением. Если А – матрица порядка , то характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением степени n относительно :
.
Это уравнение имеет n не обязательно различных корней причем некоторые из них могут быть комплексными числами. Каждому из этих характеристических корней соответствует характеристический вектор, определенный с точностью до постоянного множителя.
Пример 6.2. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид . Уравнение имеет два корня: , . Характеристическими векторами, соответствующими и , являются вектора и , где с – произвольная константа. Произвольные константы часто исключают из рассмотрения, вводя нормализованные векторы. В данном примере нормализованными векторами являются и .
Свойства характеристических корней
1. Сумма характеристических корней равна следу матрицы:
2. .
3. Произведение характеристических корней равно определителю матрицы: .
4. Число ненулевых характеристических корней матрицы совпадает с рангом этой матрицы.
5. Характеристическими корнями диагональной матрицы являются элементы ее главной диагонали.
6. Для симметрических матриц все n собственных значений являются вещественными числами.
Согласно теореме Гамильтона-Кэли, матрица А является корнем своего характеристического уравнения:
Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть характеристическим уравнением матрицы А является уравнение
.
Тогда справедливо матричное уравнение
.
В некоторых случаях интерес представляет задача отыскания собственных векторов, принадлежащих собственному значению . Достаточные условия существования такого собственного вектора вытекает из следующей теоремы.
Теорема о единичном собственном значении. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному числу 1.
Во многих связанных с отысканием собственных векторов прикладных задачах экономики содержательный смысл имеют только собственные вектора с положительными компонентами. Условия существования таких векторов даются теоремой Фробениуса-Перрона.
Теорема Фробениуса-Перрона. Пусть А – неотрицательная квадратная матрица. Тогда:
1. Максимальное по модулю собственное значение матрицы А неотрицательно. Среди собственных векторов, принадлежащих имеется неотрицательный вектор.
2. В случае все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению . Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора и отличаются лишь числовым множителем, то есть, .