- •Министерство образования и науки рф
- •Национальный исследовательский
- •Томский государственный университет
- •В.И. Рюмкин
- •Матрицы и векторы в экономике
- •1. Матрицы
- •1.1. Определения
- •1.2. Операции над матрицами
- •1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
- •1.4. Числовые функции от матриц
- •1.5. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Понятие определителя и его свойства
- •2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
- •2.3. Задачи
- •3. Ранг матрицы
- •3.1. Основные понятия и примеры
- •3.2. Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы
- •3.3. Методы поиска ранга матрицы
- •3.3.1. Метод окаймляющих миноров
- •3.3.2. Метод элементарных преобразований
- •3.4. Задачи
- •4. Обратная матрица
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Методы поиска обратной матрицы
- •4.2.1. Метод союзной матрицы
- •4.2.2. Метод элементарных преобразований
- •4.3. Задачи
- •5. Векторы
- •5.1. Операции над векторами
- •5.1.1. Алгебраические операции над векторами
- •5.2. Линейная независимость и базис векторов
- •5.3. Геометрическая интерпретация векторов
- •5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
- •5.3.2. Многомерные пространства
- •5.4. Задачи
- •6. Линейные преобразования
- •6.1. Основные сведения
- •6.2. Преобразование базиса
- •6.3. Характеристические числа и векторы
- •6.4. Задачи
- •7. Применение векторов и матриц в экономике
- •7.1. Балансовая модель Леонтьева
- •7.2. Модель равновесных цен
- •7.3. Модель международной торговли (модель обмена)
- •7.4. Задачи
- •Литература
- •Оглавление
2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
Минором элемента матрицы А называется определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, содержащих . Минор элемента обозначается как Mij.
Рассмотрим выражение (2.1) для определителя матрицы А. Соберем вместе все слагаемые, содержащие элемент и вынесем за скобки. Выражение, оставшееся в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента . Обозначается как Akp.
Замечание 2.1. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы существуют только для квадратных матриц!
Рассмотрим матрицу (Aij), которая отличается от матрицы А только тем, что на месте элементов в матрице (Aij) стоят их алгебраические дополнения Aij . Транспонируем матрицу (Aij). Полученная таким образом матрица (Aij)T называется союзной матрицей (по отношению к матрице А).
Теорема о связи минора элемента матрицы с его алгебраическим дополнением. Алгебраическое дополнение Aij элемента матрицы А и его минор Mij связаны соотношением
. (2.3)
Пример 2.4. Пусть . Тогда M11=1, A11= M11 =1; M13= , A13= M13 = ; M32=2, A32= M32 = .
Теорема о разложении определителя по строке (столбцу). Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:
Aij (разложение по i-й строке); (2.4)
Aij (разложение по j-му столбцу). (2.5)
Следствие. Из (2.3), (2.4) и (2.5) следует, что
Mij (разложение по i-й строке); (2.6)
Mij (разложение по j-му столбцу). (2.7)
Формулы (2.6) и (2.7) служат основой для вычисления определителей методом разложения их по строке (столбцу), который состоит в непосредственном использовании этих формул.
Пример 2.5. 1) пусть . Вычисление определителя методом разложения его по второму столбцу:
2A12 + 0A22 + 2A32
2) вычисление определителя четвертого порядка:
.
Теорема об умножении определителей. Пусть A и B – квадратные матрицы размера . Тогда определитель произведения матриц равен произведению их определителей:
. (2.8)
Пример 2.6. Пусть , .
Тогда , следовательно, .
С другой стороны, значит .
Таким образом, .
2.3. Задачи
Вычислить определители второго порядка:
2.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
2.2. а) ; б) ; в) ; г) .
2.3. а) ; б) ; с) .
Решить уравнения относительно :
2.4. . 2.5. . 2.6. .
Вычислить определители третьего порядка:
2.7. а) ; б) ; в) ; г) .
2.8. а) ; б) ; в) ; г) .
2.9. а) ; б) ; в) ; г) .
2.10. а) ; б) ; в) ; г) .
2.11. а) ; б) ; в) .
2.12. а) ; б) ; в) .
2.13. а) ; б) ; в) .
2.14. а) ; б) .
2.15. Показать, что делится на и .
2.16. Показать, что делится на и .
Доказать следующие тождества:
2.17. .
2.18. .
2.19. .
2.20. .
Решить относительно уравнения:
2.21. а) ; б) ; в) .
2.22. . 2.23. .
Решить относительно неравенства:
2.24. . 2.25. .
2.26. . 2.27. .
2.28. .
2.29. Построить графики функций:
а) ; б) , .
Вычислить определители четвертого порядка:
2.30. а) ; б) ; в) .
2.31. а) ; б) ; в) .
2.32. а) ; б) .
2.33. а) ; б) ; в) .
2.34. а) ; б) ; в) .
Вычислить определители пятого порядка:
2.35. а) ; б) ; в) .
2.36. а) ; б) .
Вычислить определители n-го порядка:
2.37. ; 2.38. .
2.39. .
2.40. .
2.41. .
2.42. Вычислить определитель , где .
2.43. Вычислить определитель , где .