- •Министерство образования и науки рф
- •Национальный исследовательский
- •Томский государственный университет
- •В.И. Рюмкин
- •Матрицы и векторы в экономике
- •1. Матрицы
- •1.1. Определения
- •1.2. Операции над матрицами
- •1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
- •1.4. Числовые функции от матриц
- •1.5. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Понятие определителя и его свойства
- •2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
- •2.3. Задачи
- •3. Ранг матрицы
- •3.1. Основные понятия и примеры
- •3.2. Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы
- •3.3. Методы поиска ранга матрицы
- •3.3.1. Метод окаймляющих миноров
- •3.3.2. Метод элементарных преобразований
- •3.4. Задачи
- •4. Обратная матрица
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Методы поиска обратной матрицы
- •4.2.1. Метод союзной матрицы
- •4.2.2. Метод элементарных преобразований
- •4.3. Задачи
- •5. Векторы
- •5.1. Операции над векторами
- •5.1.1. Алгебраические операции над векторами
- •5.2. Линейная независимость и базис векторов
- •5.3. Геометрическая интерпретация векторов
- •5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
- •5.3.2. Многомерные пространства
- •5.4. Задачи
- •6. Линейные преобразования
- •6.1. Основные сведения
- •6.2. Преобразование базиса
- •6.3. Характеристические числа и векторы
- •6.4. Задачи
- •7. Применение векторов и матриц в экономике
- •7.1. Балансовая модель Леонтьева
- •7.2. Модель равновесных цен
- •7.3. Модель международной торговли (модель обмена)
- •7.4. Задачи
- •Литература
- •Оглавление
3.3. Методы поиска ранга матрицы
3.3.1. Метод окаймляющих миноров
Пусть некоторый минор k-го порядка не равен нулю, т.е., . Тогда ранг матрицы А по крайней мере равен k, т.е., . Рассмотрим все окаймляющие, т.е. содержащие в себе минор миноры (k+1)-го порядка . Если все они равны нулю, то ранг матрицы А равен k: . В противном случае найдется , и вся процедура повторяется.
Пример 3.3. Пусть . Так как среди элементов матрицы есть ненулевые, то .
Находим любой минор второго порядка, не равный нулю, например, такой: . Это означает, что . Рассматриваем все окаймляющие миноры третьего порядка. Их всего два, и оба равны нулю: ; . Таким образом, ранг матрицы равен двум: .
3.3.2. Метод элементарных преобразований
Метод основан на том факте, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Проделывая элементарные преобразования исходной матрицы, ее приводят к виду, когда все элементы вне главной диагонали равны нулю, а среди элементов главной диагонали только первые s отличны от нуля:
, , . Тогда .
Пример 3.4. Пусть . Рассмотрим следующую цепочку элементарных преобразований матрицы А:
Таким образом, .
3.4. Задачи
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
3.1. . 3.2. . 3.3. .
3.4. . 3.5. .
3.6. . 3.7. . 3.8. .
3.9. .
Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований:
3.10. . 3.11. .
3.12. . 3.13.
3.14. .
3.15. .
3.16. .
Вычислить ранг матрицы:
3.17. . 3.18 .
3.19. .
3.20 . 3.21 .
3.22. . 3.23 .
Чему равен ранг матрицы A при различных значениях ?
3.24. . 3.25. . 3.26. .
3.27. Доказать, что если произведение матриц AB определено, то
.
3.28. Пусть A – невырожденная матрица, а матрицы B и C таковы, что определены. Доказать, что .
3.29. Доказать, что
3.30. Найти базисные миноры для матриц , , , .
4. Обратная матрица
4.1. Основные сведения
Пусть задана квадратная матрица А. Матрица B, обладающая свойством , называется обратной матрицей к А. Обозначается как .
Матрица А называется ортогональной, если .
Теорема об обратной матрице. Справедливы утверждения:
1) Матрица А обладает обратной матрицей тогда и только тогда, когда .
2) Обратная матрица единственна и может быть найдена по формуле
, (4.1)
где – союзная матрица.
Следствие. Из теоремы о связи минора элемента матрицы с его алгебраическим дополнением и теоремы об обратной матрице следует, что
. (4.2)
Формула (4.2) лежит в основе метода поиска обратной матрицы, называемого методом союзной матрицы и изложенного ниже.
4.2. Методы поиска обратной матрицы
4.2.1. Метод союзной матрицы
В основе данного метода лежит теорема об обратной матрице. Метод состоит в выполнении следующих шагов:
Шаг 1. Вычисляется определитель матрицы, по отношению к которой ищется обратная матрица. Если данный определитель равен нулю, то делается заключение об отсутствии обратной матрицы.
Шаг 2. Вычисляются алгебраические дополнения элементов исходной матрицы и по формуле (4.2) находится искомая обратная матрица.
Пример 4.1. Пусть .
Шаг 1: , следовательно, существует.
Шаг 2: A11 M11 ; A12 M12 ;
A13 M13 ; A21 M21 ;
A22 M22 ; A23 M23 ;
A31 M31 ; A32 M32 ;
A33 M33 .
Таким образом,
.
Метод союзной матрицы имеет существенный недостаток: он требует слишком много вычислений. При поиске обратной матрицы размера необходимо вычислить миноров порядка . Например, при поиске обратной матрицы размера необходимо вычислить 25 определителей 4-го порядка. С вычислительной точки зрения более целесообразным является метод элементарных преобразований.