- •Министерство образования и науки рф
- •Национальный исследовательский
- •Томский государственный университет
- •В.И. Рюмкин
- •Матрицы и векторы в экономике
- •1. Матрицы
- •1.1. Определения
- •1.2. Операции над матрицами
- •1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
- •1.4. Числовые функции от матриц
- •1.5. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Понятие определителя и его свойства
- •2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
- •2.3. Задачи
- •3. Ранг матрицы
- •3.1. Основные понятия и примеры
- •3.2. Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы
- •3.3. Методы поиска ранга матрицы
- •3.3.1. Метод окаймляющих миноров
- •3.3.2. Метод элементарных преобразований
- •3.4. Задачи
- •4. Обратная матрица
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Методы поиска обратной матрицы
- •4.2.1. Метод союзной матрицы
- •4.2.2. Метод элементарных преобразований
- •4.3. Задачи
- •5. Векторы
- •5.1. Операции над векторами
- •5.1.1. Алгебраические операции над векторами
- •5.2. Линейная независимость и базис векторов
- •5.3. Геометрическая интерпретация векторов
- •5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
- •5.3.2. Многомерные пространства
- •5.4. Задачи
- •6. Линейные преобразования
- •6.1. Основные сведения
- •6.2. Преобразование базиса
- •6.3. Характеристические числа и векторы
- •6.4. Задачи
- •7. Применение векторов и матриц в экономике
- •7.1. Балансовая модель Леонтьева
- •7.2. Модель равновесных цен
- •7.3. Модель международной торговли (модель обмена)
- •7.4. Задачи
- •Литература
- •Оглавление
6. Линейные преобразования
6.1. Основные сведения
Если задано правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в (пишут ). Вектор называется образом вектора , а сам вектор – прообразом вектора .
Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа k выполняются соотношения:
,
.
Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством .
Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством .
Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством .
Нетрудно убедиться, что операторы , , , полученные в соответствии с определениями, являются линейными.
Определим нулевой оператор , преобразующий все векторы пространства в нулевые векторы пространства : .
Если пространства и совпадают ( ), то оператор отображает в себя. В этом случае можно ввести в рассмотрение тождественный оператор , действующий по правилу .
Покажем, что любому линейному оператору может быть поставлена в соответствие матрица А размера , а закон отображения выразится системой линейных уравнений, связывающих координаты образа и прообраза.
Действительно, пусть система векторов образует базис в пространстве . Тогда любой вектор можно разложить по данному базису:
.
Рассмотрим оператор . В силу линейности оператора образ имеет вид
.
Пусть – базис в пространстве . Поскольку , также является вектором из , то его можно разложить по базису .
Пусть . Тогда
. (6.1)
С другой стороны, вектор , имеющий в том же базисе координаты , можно записать так:
. (6.2)
Вследствие единственности разложения вектора по базису правые части соотношений (6.1) и (6.2) равны, откуда получаем систему линейных уравнений
(6.3)
Матрица , элементами которой являются коэффициенты в системе (6.3), называется матрицей оператора в базисе . Рангом оператора по определению является ранг матрицы А этого оператора в данном базисе.
Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в заданном базисе.
Справедливо и обратное: всякой матрице соответствует линейный оператор .
Действительно, для любого вектора существует единственный вектор , который является результатом умножения матрицы А на : .
Данное преобразование является линейным, так как
, ,
где , , а k– скаляр. Отметим, что и что линейное преобразование отображает выпуклое множество из в выпуклое множество, принадлежащее пространству .
Пусть – линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением . Линейный оператор называется сопряженным к оператору , если для любых векторов выполняется равенство
.
Для всякого оператора сопряженный оператор существует и единственен.
Если оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряженный оператор в этом же базисе имеет матрицу , где . Матрица называется сопряженной к матрице и для операторов, действующих в , эта матрица равна транспонированной матрице .