- •Министерство образования и науки рф
- •Национальный исследовательский
- •Томский государственный университет
- •В.И. Рюмкин
- •Матрицы и векторы в экономике
- •1. Матрицы
- •1.1. Определения
- •1.2. Операции над матрицами
- •1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
- •1.4. Числовые функции от матриц
- •1.5. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Понятие определителя и его свойства
- •2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
- •2.3. Задачи
- •3. Ранг матрицы
- •3.1. Основные понятия и примеры
- •3.2. Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы
- •3.3. Методы поиска ранга матрицы
- •3.3.1. Метод окаймляющих миноров
- •3.3.2. Метод элементарных преобразований
- •3.4. Задачи
- •4. Обратная матрица
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Методы поиска обратной матрицы
- •4.2.1. Метод союзной матрицы
- •4.2.2. Метод элементарных преобразований
- •4.3. Задачи
- •5. Векторы
- •5.1. Операции над векторами
- •5.1.1. Алгебраические операции над векторами
- •5.2. Линейная независимость и базис векторов
- •5.3. Геометрическая интерпретация векторов
- •5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
- •5.3.2. Многомерные пространства
- •5.4. Задачи
- •6. Линейные преобразования
- •6.1. Основные сведения
- •6.2. Преобразование базиса
- •6.3. Характеристические числа и векторы
- •6.4. Задачи
- •7. Применение векторов и матриц в экономике
- •7.1. Балансовая модель Леонтьева
- •7.2. Модель равновесных цен
- •7.3. Модель международной торговли (модель обмена)
- •7.4. Задачи
- •Литература
- •Оглавление
4.2.2. Метод элементарных преобразований
В основе метода лежит следующий факт: любая невырожденная квадратная матрица A с помощью конечной последовательности элементарных преобразований может быть преобразована в единичную матрицу.
Это означает, что будет иметь место соотношение
, (4.3)
где последовательность специальных матриц вида (2.1) и (2.2), реализующих, согласно теореме о представлении элементарных преобразований матриц операциями умножения, преобразование исходной матрицы A к единичной матрице Е.
Умножая обе части соотношения (4.3) справа на , получим:
, откуда следует
. (4.4)
Из (4.3) и (4.4) вытекает, что те же самые преобразования, с помощью которых исходная матрица A приводится к единичной, после применения к единичной матрице, дают обратную .
Метод элементарных преобразований состоит в выполнении следующих шагов:
Шаг 1. Записывается «двойная» матрица , получаемая приписыванием к исходной матрице А справа единичной матрицы Е.
Шаг 2. Над строками полученной «двойной» матрицы проделываются элементарные преобразования таким образом, чтобы на месте А в итоге получилась бы единичная Е. Тогда на месте Е в «двойной» матрице получается искомая обратная матрица .
Пример 4.2. Пусть . Реализуем метод элементарных преобразований.
Шаг 1. .
Шаг 2.
4.3. Задачи
Методом союзной матрицы и методом элементарных преобразований найти обратные матрицы для следующих матриц:
4.1. а) , б) , в) , г) .
4.2. а) , б) , в) , г) .
4.3. а) , б) , в) .
4.4. а) , б) .
Решить матричные уравнения относительно матрицы X:
4.5. если:
а) б) .
4.6. а) , б) , если , .
4.7. а) б) если A, B – как в 4.6.
4.8. Для и решить следующие системы уравнений относительно матриц и :
а) б)
в) г) д)
5. Векторы
Упорядоченный набор из n чисел называется n-мерным вектором . Сами числа при этом называются компонентами вектора . Общепринятой формой записи вектора является его запись в матричной форме – в виде вектор-столбца:
.
Другой формой записи вектора является вектор-строка: .
5.1. Операции над векторами
5.1.1. Алгебраические операции над векторами
Операции сравнения: два вектора и называются равными (пишут ), если все соответствующие их компоненты совпадают, то есть, если . Говорят, что вектор больше вектора (пишут ), если .
Операция сложения: для любых двух векторов и определен вектор с компонентами , называемый суммой этих векторов.
Операция умножения на число: если число, то для любого существует вектор с компонентами . Векторы и называются пропорциональными или коллинеарными.
Операция вычитания вектора из вектора определяется следующим образом: . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Свойства операций сложения и умножения векторов на число
1. ,
2. ,
3.
4. , ,
5. .
Множество всех n-мерных векторов с вещественными компонентами и введенными выше операциями сравнения, сложения и умножения на число, называется n-мерным векторным пространством и обозначается .