7.2. Модель равновесных цен

Модель равновесных цен является двойственной по отношению к модели Леонтьева балансовой моделью. Рассмотрим, как и разделе 7.1, экономику из n отраслей. Пусть S – структурная матрица, вектор валового выпуска. Обозначим через вектор цен, i-я компонента которого равна цене единицы продукции i-й отрасли. Для того чтобы выпустить единицу продукции в j-й отрасли, на закупку продукции других отраслей необходимо затратить сумму, равную

Следовательно, для обеспечения выпуска продукции в объеме требуются затраты Оставшаяся часть дохода отрасли называется добавленной стоимостью и расходуется на зарплату, налоги, инвестиции. Таким образом, имеет место равенство

Разделив это равенство на , получаем

где норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Полученные равенства удобно записывать в матричном виде:

где вектор норм добавленной стоимости.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в некоторых из отраслей.

Пример 7.2. Пусть экономика состоит из трех отраслей, причем вектор норм добавленной стоимости известен: , а структурная матрица та же, что и в предыдущем примере:

.

Требуется определить равновесные цены.

Решение. Воспользуемся, как и в модели Леонтьева, формулой

(7.6)

где транспонированная матрица полных затрат. После необходимых вычислений имеем

, откуда .

Предположим теперь, что в первой отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 2. Определим равновесные цены при этом условии. Так как в новой ситуации , то, согласно (7.6), получим .

Таким образом, продукция первой отрасли подорожает на , второй – на 6,02%, третьей – на 7,52%.

Зная объемы выпуска, нетрудно также подсчитать вызванную этим повышением цен инфляцию.

7.3. Модель международной торговли (модель обмена)

Модель международной торговли (модель обмена) предназначена для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны.

Рассмотрим ситуацию стран – участниц торговли с государственными бюджетами соответственно. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран.

Введем в рассмотрение структурную матрицу торговли:

, где часть госбюджета, которую j-я страна тратит на покупку товаров i-й страны. Сумма элементов матрицы S в каждом столбце должна быть равна единице.

После подведения итогов за некоторый период страна получит выручку . Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

(7.7)

На самом деле все неравенства в (7.7) должны выполняться как точные равенства. Это следует из теоремы:

Теорема об условиях бездефицитной торговли [1]. Условием бездефицитной торговли являются равенства

(7.8)

В матричной форме соотношение (7.8) выглядит следующим образом:

, (7.9)

что является частным случаем уравнения

. (7.10)

Отсюда следует, что вектор бюджетов является собственным вектором структурной матрицы торговли , а соответствующее собственное значение этой матрицы равно 1.

Согласно (6.8) и (6.9), необходимым и достаточным условием существования решения уравнения (7.10) является условие существования решения уравнения

. (7.11)

Если раскрыть определитель, стоящий в левой части (7.11), то получится многочлен степени n относительно называемый характеристическим уравнением матрицы . Отсюда вытекает, что собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического уравнения.

Таким образом, для того чтобы найти вектор бюджетов , необходимо и достаточно отыскать собственный вектор структурной матрицы торговли , соответствующий единичному собственному значению этой матрицы.

Пример 7.3. Пусть задана структурная матрица торговли трех стран есть . Это означает, в частности, что страна С₁ тратит половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, ¼ бюджета – на товары из С₂, оставшуюся часть бюджета – на товары из С₃. Требуется найти вектор бюджетов стран, гарантирующий бездефицитную торговлю всех стран.

Решение. Уравнение для отыскания собственного вектора матрицы согласно (7.9) имеет вид

,

откуда получаем систему линейных уравнений

Эта система имеет бесконечное множество решений. Взяв за свободную переменную , нетрудно найти общее решение:

.

В качестве собственного вектора можно взять вектор . В частности, это означает, что сбалансированность торговли рассмотренных трех стран может быть достигнута только в том случае, когда госбюджеты находятся в отношении

.