6.4. Задачи

В задачах (6.1-6.3) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе G. Доказать, что система также является базисом и найти координаты вектора в этом базисе.

6.1. , , , .

6.2. , , , .

6.3. , , , ,

В задачах (6.4) и (6.5) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы векторов и также являются базисами. Найти матрицу перехода от базиса G к базису .

6.4. , , ; , , .

6.5. , , , ;

.

Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно):

6.6. . 6.7. . 6.8. .

7. Применение векторов и матриц в экономике

7.1. Балансовая модель Леонтьева

Рассмотрим экономику из n взаимодействующих отраслей производства. Обозначим через валовой объем производства i-й отрасли (в условных единицах) за некоторый период. Обозначим через объем продукции i-й отрасли, который за тот же период времени потребляется j-й отраслью.

Пусть экономика находится в стабильном состоянии, при котором выполняются уравнения баланса

(7.1)

где объем конечного продукта i-й отрасли.

По предложению Леонтьева объемы взаимных потреблений могут быть выражены линейными функциями объемов производства отраслей, т.е.,

( ). (7.2)

Коэффициенты , присутствующие в (7.2), называются структурными, или технологическими коэффициентами.

Подстановка (7.2) в (7.1) дает систему балансовых уравнений Леонтьева

которая с помощью матричной алгебры может быть записана в виде

. (7.3)

Уравнение (7.3) называется балансовым уравнением Леонтьева в матричном виде. Здесь вектор валового выпуска, вектор конечного продукта, структурная матрица.

Уравнения (7.2) и (7.3) представляют собой формальное описание балансовой модели Леонтьева. Эта модель очень проста, но при определенных условиях оказывается вполне адекватной реальной экономике. Самым главным условием, при котором балансовая модель Леонтьева сохраняет свою адекватность, является условие неизменности структуры взаимосвязи отраслей, что формально означает неизменность структурной матрицы. Другим важным условием является стабильность, устойчивость экономики. В период резких социальных потрясений, технологических революций и сломов экономических систем модель Леонтьева не применяется.

Использование балансового уравнения Леонтьева позволяет решать различные прикладные задачи экономики. Одной из актуальных экономических задач, для решения которой применяется балансовая модель Леонтьева, является следующая: требуется определить, в каких объемах нужно наладить выпуск продукции в отраслях экономики, чтобы обеспечить заданный уровень конечного продукта в этих отраслях. Актуальность данной задачи обусловлена тем, что уровень жизни общества существенным образом зависит от конечного продукта.

Изложим решение задачи. Пусть на основании статистических наблюдений за работой отраслей экономики в течение некоторого периода известны валовые выпуски всех отраслей, а также вычислены все элементы структурной матрицы S. Если поставлена задача поиска такого вектора валового выпуска , который обеспечил бы значение вектора конечного продукта на уровне , то тогда (7.3) следует

.

Обозначим . Тогда из последнего соотношения вытекает, что решение задачи сводится к решению матричного уравнения

, (7.4)

где . Искомое решение при этом будет равно .

Пример 7.1. Пусть данные функционирования экономики из трех отраслей Отр_1, Отр_2 и Отр_3 за некоторый период представлены в таблице 7.1

Таблица 7.1

Отрасли	Взаимные потребления (zij)			Конечный продукт
	Отр_1	Отр_2	Отр_3
Отр_1	5	10	15	50
Отр_2	10	20	15	60
Отр_3	20	15	10	50
Валовой выпуск	50	60	50

Определить вектор валового выпуска, обеспечивающий величину конечного продукта во всех отраслях на уровне 20 (у.е.).

Решение. Из табличных данных имеем

, , .

В соответствии с (7.2) элементы структурной матрицы S можно определить по формулам . Подстановка табличных данных дает

. (7.5)

Подстановка (7.5) в (7.4) дает матричное уравнение ,

где , .

Вычислив одним из описанных в разделе 4 методов обратную матрицу , получаем искомое решение:

.