Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

457.05 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет

О.М. Биматова

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть II

Томск

2011

РАССМОТРЕН И УТВЕРЖДЕН методической комиссией ММФ Протокол № 6 от 6 июня 2011 г.

Председатель комиссии

Сборник задач разработан для студентов I курса естественных факультетов. Содержит большое количество задач по основным разделам высшей математики: неопределенный интеграл, определенный интеграл, приложения определенного интеграла к задачам естествознания, ряды, дифференциальные уравнения, функции многих переменных. Для подготовки к тестированию добавлен раздел «Повторение».

2-е издание, переработанное и дополненное

Автор: О.М. Биматова

	ОГЛАВЛЕНИЕ
1.	НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................................................	4
1.1. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.............................		4
1.2. Замена переменной в неопределенном интеграле .................................		6
1.3. Интегрирование по частям.......................................................................		8
1.4. Интегрирование рациональных функций...............................................		9
1.5. Интегрирование иррациональных функций.........................................		12
1.6. Интегрирование тригонометрических функций..................................		13
2.	ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ...............................................................	15
2.1. Вычисление определенного интеграла.................................................		15
2.2. Вычисление площадей плоских фигур .................................................		17
2.3. Вычисление длины дуги плоской кривой.............................................		21
2.4. Вычисление объема тела вращения.......................................................		23
2.5. Вычисление площади поверхности вращения .....................................		25
3.	ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ..................................................	27
3.1. Область определения функции многих переменных...........................		27
3.2. Частные производные и дифференциалы.............................................		27
3.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности................................		29
3.4. Экстремум функции нескольких переменных.....................................		30
4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ...............................................	33
4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка..................		33
4.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка...............		35
4.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка...........		35
4.4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
	понижение порядка................................................................................	36
4.5. Комплексные числа ................................................................................		37
4.6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с
	постоянными коэффициентами.............................................................	38
5.	РЯДЫ..........................................................................................................	41
5.1. Признаки сходимости числовых рядов.................................................		41
5.2. Степенные ряды......................................................................................		45
6.	ПОВТОРЕНИЕ...........................................................................................	48
7.	ОТВЕТЫ ………………………………………………………………… 56
ЛИТЕРАТУРА ...............................................................................................		62

a, b .

1.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.1.Понятие неопределенного интеграла и его свойства

Опр. 1. Если на промежутке a, b существует такая дифференцируемая функция F(x) , производная которой совпадает с f (x) , то функция F(x) называется первообразной f (x) на

По определению F (x) f (x) .

Опр. 2. Функция F(x) c , определяющая множество всех первообразных для функции f (x) , называется неопределенным интегралом от

функции	f (x) и обозначается символом f (x) dx .
По определению f (x) dx F(x) c .
	Основные свойства неопределенного интеграла
			d(F(x)) F(x) с.
1. d f (x) dx) f (x)dx .		2.

3.k f (x) dx k f (x) dx .

4.f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

Таблица интегралов

1.	xndx					xn 1		c, n 1.
							n 1

3.	axdx						a x	c,
							ln a

4.	sin x dx cos x c .
6.		dx			ctg x c .
		sin	2
				x

2.x 1dx dxx ln x c .exdx ex c .

5. cos x dx sin x c .

7. dx tgx c . cos2 x

1 arcsin bx

c ,

arcsin x c .

a2 b2 x2

1 x2

arctg bx c ,

arctg x c .

1 x

10.

x2 a2

c .

x2 a

Вычислить:

2. 3 x 4x2 dx .

5 x x2 dx .

x3 4x2 1 dx .

4. 6x3 x 1 dx .

(6x5

4x3

2) dx

6. (3x2

4x3 5) dx

x 2

dx .

8. 3x 6 dx .

2x 2

5 dx .

10.

3 2x dx .

(x2

1)2

dx .

(x2 2)2

11.

12.

dx .

(2 x2 )

dx .

3 x2

13.

14.

dx .

15.

dx .

16.

dx .

2 x

e x

17.

18.

dx .

19.

tg2 x dx .

20.

ctg2 x dx .

			2				3					5					6

21.			1 x	2			1 x	2	dx .	22.		1 x	2				1 x	2	dx .
			1 x				1 x					1 x					1 x
23.			dx			.				24.		dx				.
23.						.				24.						.
			x2 4									x2 1
25.			dx				.			26.		dx		.

			x2 25								4 x2
27.			dx		.					28.		dx			.
												1 x2
		4x2 9										1 x2
		1.2. Замена переменной в неопределенном интеграле
	Пусть f (x)						– непрерывная функция на промежутке a, b . Чтобы в

интеграле f (x) dx сделать замену переменной x g(t) , нужно:

1)в выражении подынтегральной функции x заменить на g( f ) ;

2)dx заменить на g (t)dt ;

3)вычислить полученный интеграл;

4)в первообразной функции заменить t его выражением через x .

	Вычислить:
29.	sin	x		dx .
29.	sin			dx .
	2
		x
31.	cos				4	dx .
31.	cos		2		4	dx .
			2

33. (3 2x)4 dx .

35. (2x 5)2 .

5dx

37.x 4 .


30.	sin 3x dx .
32.
32.	cos		3		x dx .
			3
34.	(6x 1)5 dx .
36.		dx					.
36.		(3x 8)				3	.
		(3x 8)
38.		dx		.
38.		2x	1	.
		2x	1

39.

4dx

1 3x

41.

3x 5 dx .

43.

6 2x dx

45.

3 dx .

47.

x2 1 dx .

49.

cos3 xsin x dx .

51.

cos xsin 2 x dx .

53.

sin x

cos x dx .

55.

tg x cos

57.

tg x dx .

59.

ctg

dx .

61.

1 2cos x

dx .

sin

4 x

63.

65.

e x ex dx .

67.

dx .

69.

cos x esin x dx .

40.

2dx

4 3x

42.

6x 4dx .

44.

6 5x dx

46.

4x2 1 dx .

48.

1 2x2

dx .

50.

cos2 x sin x dx .

52.

cos x

sin x dx .

54.

dx .

cos

56.

ctg x

dx .

sin

58.

ctg x dx .

60.

tg (3x) dx .

62.

3sin x

dx .

cos

5 x

64.

1 x

66.

e x 2 dx .

e 4x

68.

dx .

70.

cos x e3sin x dx .

etg x

71. cos2 x dx .

73. x4ex5 dx .

75. x e x2 dx .

77. lnxx dx .

79. xln2 x .

		e	ctg x			dx .
72.		e
72.	2sin			2	x
	2sin				x
74.	e		x	dx .
74.		x		dx .
		x
76.			ex			dx .
76.		5 ex				dx .
		5 ex
78.		dx			.
78.	x ln x				.
	x ln x
80.			dx			.
80.	x		ln x			.
	x		ln x

1.3. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые на промежуткеa, b функции, тогда

u(x) dv(x) u(x) v(x) v(x) du(x) .

Формулу интегрирования по частям применяют, если интеграл справа проще, чем исходный интеграл слева. Пусть под знаком интеграла слева

стоит произведение многочлена на sin x , или на cos x , или на ex . Тогда за функцию u(x) следует взять многочлен. Пусть под знаком инте-

грала слева стоит произведение многочлена на трансцендентную функцию ( ln x , arctgx , arcsin x , …). Тогда за функцию u(x) следует взять

трансцендентную функцию.

	Вычислить:
81.	2xsin x dx .	82.	(x 1)sin x dx .
83.	(x 1)sin x dx .	84.	(3x 1)cos x dx .
85.	(x2 2x)cos x dx .	86.	(x x2 )cos x dx .


87.	(5 x2 )sin x dx .		88.	(6 x2 )sin x dx .
89.	x exdx .		90.	(2 x)exdx .
91.	(6 x2 )exdx .		92.	(x x2 ) exdx .
93.	x ln x dx .		94.	ln x dx .
95.	6x ln (3x) dx .		96.	4x ln 4x dx .
97.	(x 1) ln2 x dx .		98.	(2x 3)ln2 x dx .
99.	(x2 2x 1) ln2 x dx .		100.		(3x2 2x) ln2 x dx .
101.		x arctg x dx .	102.		arcsin x dx .
103.		x ln x dx .	104.		arctg x dx .

1.4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией или рациональной дробью называется отно-

шение двух многочленов: f (x) P(x) .

Q(x)

В основу интегрирования рациональных функций положено разложение ее на простые дроби и интегрирование их. Простыми называются дроби следующих четырех типов:

II.

, m 1 и целое,

(x b)m

x b

III.

Mx N

IV.

Mx N

, D p2 4q 0 .

px q

(x2

px q)m

Интегрирование простых дробей:

Adx

Aln

x b

c ,

x b

II.

Adx

c ,

(m 1)(x b)

m 1

(x b)

III.

(Mx N )dx

M ln (x2

px q)

px q

arctg

c .

Пример. Вычислить интеграл

2x3 x2 x 2

dx .

(x 1)

Так как степень числителя

P(x) 2x3

x2 x 2 меньше, чем

степень знаменателя

Q(x) (x 1)2 (x2

x 1) ,

то под знаком инте-

грала стоит правильная рациональная дробь. Разложим ее на сумму простых дробей с неопределенными пока коэффициентами в числителях:

2x3 x2 x 2

Mx N

(x 1)2 (x2

x 1)

(x 1)2

x2 x

Приведем к общему знаменателю сумму в правой части равенства и приравняем числители левой и правой части равенства:

2x3 x2 x 2 A1(x 1)(x2 x 1) A2 (x2 x 1) (Mx N)(x 1)2 .

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x :

3 : 2 A1 M

2 : 1 A2 N 2M

1: 1 A2 M 2N

0 : 2 A1 A2 N

Решение системы: A1 1, A2 2 , N 1, M 1. Таким образом

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20193.73 Mб4РЮМКИН_МАТРИЦЫ_И_ВЕКТОРЫ.doc
#
23.11.201986.53 Кб3с 9 по 13 вопросы.doc
#
30.05.201540.8 Mб46С.Реминный - Тайны кофе разных стран.pdf
#
30.05.201514.87 Mб37Самарский Численные методы.pdf
#
08.05.2019109.57 Кб27Сафронов_пс айкидо.doc
#
30.05.2015457.05 Кб45Сборник задач по высшей математике.pdf
#
23.11.2019337.92 Кб34сборник задач по ПОПД перед2.doc
#
30.05.20151.99 Mб39Сборник статей. Тараканова.pdf
#
30.05.2015701.41 Кб6Сборник-23-х-чтений.docx
#
26.03.20165.6 Mб203СБУ т-3 ред.doc
#
29.04.2019108.54 Кб7Сваровская А. С..doc