Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

457.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

5.РЯДЫ

5.1.Признаки сходимости числовых рядов

Опр. 17. Пусть дана бесконечная последовательность чисел: a1,a2 ,a3 , ..., an , ..., .

Сумма всех членов последовательности называется числовым рядом: a1 a2 a3 ... an ... .

Для того чтобы задать ряд необходимо задать формулу общего члена

ряда an . Символ ряда an .

n 1

Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой ряда:

Sn a1 a2 a3 ... an .

Опр. 18. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда. Этот предел

называется суммой ряда: S lim Sn . n

Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд an сходится, то n 1

предел общего члена ряда равен нулю: nlim an 0 .

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами:


1. Признак сравнения. Пусть даны два ряды: an ,	bn . Если
n 1	n 1
существует предел отношения общих членов рядов:

lim an

n bn

			0, число
					an
		bn сходится
						n 1
n 1
				число,

						an
				расходится
	bn					n 1
	n 1

сходится

расходится

2. Признак сходимости Даламбера. Пусть существует предел отношения двух последующих членов ряда:

	lim	an 1	r .
	n	an

Если r 1 , то ряд an	сходится.
n 1

Если r 1 , то ряд an	расходится.
n 1
Если r 1 , то следует применять другой признак.
3. Признак Коши. Пусть существует предел: lim				n an q .
			n

Если q 1, то ряд an	сходится.
n 1

Если q 1 , то ряд an	расходится.

n 1

Если q 1 , то следует применять другой признак.

Написать общий член ряда:

587.1 12 14 18 161 ... .

588.2 23 92 272 812 ... .

589.3 34 163 643 2563 ... .

590.4 43 54 74 94 ... .

591.2 52 92 132 172 ....

592.5 65 115 165 215 ... .

593.32 34 63 83 103 ... .

594. 1 2 3 4 ... .

Проверить необходимое условие сходимости ряда:

595.	5		5	5 5					1 ....
			2	3		4
596.		1			1				1		1		1		....
	1 2				2 3			3 4			4 5
													5 6
597.		1			1				1	1		1				... .
	1 3				3 5		5 7			7 9
												9 11
598.		1			1				1		1			1	....
	1 4				2 5			3 6			4 7
														5 8

599.1 2 3 4 5... .

600.13 34 93 163 253 ... .

Исследовать сходимость ряда по признаку сравнения:

601.n 1 n .

603.n 1 n 2 .

605.n 13n 1 .

607.n 1 n 4 .

			2
602.					.

	n 1		3n
		3
604.				.

	n 1	2n
		2
606.						.
		3n 1
	n 1
		4
608.						.
		2n 1
	n 1

			1
609.			1			.
609.				3n		.
	n 1			3n
611.				n			.

		2n		2
	n 1	2n			1

2n2 5

613.n 1 n2 4n .

615..3

n 1 (2n) 2

617.n 13n2 1 .

619.2 sin n .n 1

n 1

621. n 1 n3 4

	1
623. tg		.

n 1	n2

				1
610.							.
610.		3n				1	.
	n 1	3n				1
		n 1
612.						.
612.			2	n		.
	n 1 3n			n
		3n		2	n .
614.		3n			n .
616.	n 1	2n2 7
616.	11				3 .

	n 1 (3n) 2
				1
618.								.
618.		2n2			n			.
	n 1	2n2			n

620.3sin n2 .n 1

n 4

622.n 1 n3 3

624.tg n .n 1

Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера:

			1								7
625.			1		.			626.			7		.
625.					.			626.					.
	n 1 n!								n 1 n!
			1								1
627.			1				.	628.			1				.
	n 1	(2n 1)!							n 1	(2n)!
	n 1								n 1
				n								n
629.				n		.		630.				n		.
629.				n		.		630.				n		.
	n 1		2						n 1		3
												n 1
631.	n 1 .							632.				n 1				.
631.	n 1 .							632.								.
	n 1			3n 1					n 1			2n 1

Исследовать сходимость ряда по признаку Коши:

			3n		n							8n			n
			3n									8n
633.				.			634.						.
633.			7n 4	.			634.			2n 5			.
			7n 4							2n 5
	n 1							n 1
		5n 4		n						2n 1 n
635.				.			636.						.
635.			3n	.			636.			3n 4			.
	n 1		3n					n 1		3n 4
			1						2		n
637.			1			.	638.		2			.
637.						.	638.					.
	n 1 lnn (n 1)							n 1 nn
			1									n		n
			1									n
639.				.			640.						.
639.				.			640.						.
	n 1 (ln n)n							n 1		2n 1

5.2. Степенные ряды

Опр. 19. Степенным рядом называется функциональный ряд вида: a1x1 a2 x2 a3 x3 ... an xn ... .

Степенные ряды отличаются друг от друга коэффициентами an .

Опр. 20. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда,

если при	x	R ряд сходится, а при	x		R ряд расходится.
если при	x	R ряд сходится, а при	x		R ряд расходится.
		R lim			an	.
					an
				an 1
		n		an 1
Интервал ( R; R) называется интервалом сходимости степенного

ряда.

Определить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границе интервала:

641.

642.

(n 1)

(n 2)

n 1

643.

644.

(2n 1)2 3n

(2n 1)2 5n

n 1

		x	n		x		n
645.				646.
		(n 1)!			(n 1)n
	n 1			n 1
			n				5xn
647.	10x			648.
					3	n	(4n 1)
	n 1	n		n 1

Написать первые четыре члена разложения функции в ряд Тейлора в окрестности нуля:

649.	f (x) cos x .	650.	f (x) cos 2x .
651.	f (x) sin 3x .	652.	f (x) sin 4x .

Написать коэффициент а4 разложения функции в ряд Тейлора по степеням (х–х0):

653.	f (x) ln(2 x) , x0						1.		654. f (x) ln(x 4), x0						5 .
655.	f (x)	x5		x3		, x0	2 .		656. f (x)		x3		x5	, x0	2 .
		20		6							6	60
															1.
657.	f (x) 0.25x4					x , x0 4 .			658. f (x) 0.125x4				4, x0
Написать разложение функции в ряд Тейлора в окрестности нуля:
659.	f (x) sin x .								660.	f (x) cos x .
661.	f (x) ln(1 x) .								662.	f (x) e4x .
663.	f (x)		1 x .						664.	f (x) 3 1 x .
					5									3
665.	f (x) (1 x) 2 .								666.	f (x) (1 x) 2 .
667.	Разложить функцию						f (x)		1 x	в ряд Тейлора и вычислить
	1,004 ;		0,992 ;				90 ;	101 , ограничившись четырьмя чле-
	нами ряда. Оценить погрешность.
668.	Разложить функцию						f (x) 3 1 x			в ряд Тейлора и вычислить

3 1,006 ; 3 0,991 ; 3 130 ; 3 998 , ограничившись четырьмя членами ряда. Оценить погрешность.

Найти сумму ряда, используя почленное дифференцирование:



669.	nxn ,	x	1 .		670.	2n xn ,	x		1.
669.	nxn ,	x	1 .		670.	2n xn ,	x		1.
	n 1					n 1

671.	n2 xn ,		x	1.	672.	3n2 xn ,		x		1.
671.	n2 xn ,		x	1.	672.	3n2 xn ,		x		1.
	n 1					n 1

Определить в виде ряда функцию:

673.	F(x)	sin x			dx .	674.

			x
675.	F(x)		ex	dx .		676.

			x
677.	F(x) arctg x dx .					678.
				x
679.	F(x) 1 x3 dx .					680.

F(x) cosx dx . F(x) e3xx dx .

F(x) e x2 dx . F(x) exx2 dx .

6. ПОВТОРЕНИЕ

Определить размерности основной и расширенной матриц системы:

5x y 3	.	x 5z t 0		.
1.	.	2.	3	.
4x z 0		4x y 2t	3

Для данных матриц А и В найти матрицу Х, являющуюся решением уравнения Х + А = В:

3.		4 6 7					0 1			2	4. A		0 1		2			2 1		2
3.	A					B				.	4. A						B				.
		2 1 0													5				5 0
		2 1 0					3 4			5			3 4		5			4	5 0
Вычислить матрицу 0,5A – 4В; если
		4	2				0,5	1				12		8				0,5	1
5.		6	8				2	1			6.		0	2				4	2
5.	A	6	8	, B			2	1	.		6.	A	0	2		, B		4	2	.
		0	4				0	0										0	0
		0	4				0	0					6 4					0	0
7.		0,6		4	,		1	1			8.	0,4		6			1		1
7.	A				,	B			.		8.	A			,		B		.
		2		0,8									4	8
		2		0,8			2	2					4	8			3		3

Найти размерность матриц. Какие пары матриц можно умножать? Найти размерность произведения.

		4		2			0,5		1	0,6		4			0,5
9.	A		6	8	,	B		2					,	M		2	,
									1 ,	C
											2	0,8
			0	4				0	0							0

	1			1	,			4			2	6		N 12 8 1 ,				P 12			8 .
D					,		L						,	N 12 8 1 ,				P 12			8 .
											8
	3			3				6			8	0
		4		2				0,6			1			8	4				0,5
10.	A		6	8	,		B			2		1		8	4	,	D			2	,
10.	A		6	8	,		B			2		1	,	C		,	D			2	,

			0	4					5			0		2 3						0
			0	4					5			0								0
	5			5		,			4		2		6	, N 12 8		1 ,		P 6			0,4 .
M						,	Q							, N 12 8		1 ,		P 6			0,4 .
										6	8
	3			3						6	8	0
48

11.При умножении матрицы А размерности 3×8 на матрицу В получилась матрица С размерности 3×4. Найти размерность матрицы В.

12.При умножении матрицы А на матрицу В размерности 6×2 получилась матрица С размерности 5×2. Найти размерность матрицы А.

Найти λ, при котором матрица вырождена:

13.			10			14.	10			2
	A	1	5	.			A			5	.

15.	8					16.	8		4
	A	4	2	.			A	1		.

	Найти минор М23 элемента а23 матрицы А:
	1		3	2			2			5 6
17.		4	4	1		18.		1		2	5
	A				.		A					.
		2	5	3				1		3	2

	Найти алгебраическое дополнение А31 элемента а31 матрицы А:
	1		3	2			2			5 6
19.		4	4	1		20.		1		2	5
	A				.		A					.
		0	5	3				0		3	2

Выписать основную матрицу системы, найти размерность расширенной матрицы системы:

	x 3y 2z 5		x 3y 2z 5
21.		22.		x 2z t 1 .
	x 2z u 4 .			x 2z t 1 .

	z y 2u 0		x y 2u 0

Найти матрицу Х, являющуюся решением уравнения А+Х = В:

23.	3		7 4			,	B	5	3 9			.
	A
		3	8 4						5		9
								4
24.	0		1	2			5		3	8
	A	3	4	5	,	B		4	5	9	.

Записать систему в матричном виде:

	x		2x		3x	1			2x	x		1
		1		2	3				1	3
25.	x1		x2	2		.	26.	x1 x2			2		.
		4x 3x x 0							4x x x 0
			1	2	3					1		2	3

27. Ранг матрицы А равен двум. Найдите ранг матрицы 5А, 13А, 23А.


	Вычислить определители:								17		17
28.		5		15		.		29.					.

		10		30					17		17
30.			12	6	4		.	31.		2	3	1		.

			6	4	4					6	6	2
			3	2	8					2	1	2

33. Если все элементы определителя второго порядка разделить на 2, то во сколько раз новый определитель будет меньше исходного?

Найти длину вектора:
2		1		3			0
34. a 2 . 35.			2 . 36.	c	4 . 37.
34. a 2 . 35.	b		2 . 36.	c	4 . 37.	d	4 .
1			2		0		3

38. а 2i j 6k .

40. b 3k 2i 8 j.

39.b 3k 2i 8 j .

41.a 2i j 3k .


Найти проекции векторов		AB	,	BA	и их длину:
42.	A(1;2;3); B(2;5;3) .	43.				A( 1;2;3); B( 1; 2; 3) .
44.	A(2; 3;4); B(2; 3;0) .	45.				A(3; 3;1);	B( 1; 3;0) .

46. Определить начало вектора a 3 , если его конец совпадает с

точкой B(1; 1;2) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20193.73 Mб5РЮМКИН_МАТРИЦЫ_И_ВЕКТОРЫ.doc
#
23.11.201986.53 Кб3с 9 по 13 вопросы.doc
#
30.05.201540.8 Mб47С.Реминный - Тайны кофе разных стран.pdf
#
30.05.201514.87 Mб38Самарский Численные методы.pdf
#
08.05.2019109.57 Кб27Сафронов_пс айкидо.doc
#
30.05.2015457.05 Кб45Сборник задач по высшей математике.pdf
#
23.11.2019337.92 Кб34сборник задач по ПОПД перед2.doc
#
30.05.20151.99 Mб39Сборник статей. Тараканова.pdf
#
30.05.2015701.41 Кб6Сборник-23-х-чтений.docx
#
26.03.20165.6 Mб203СБУ т-3 ред.doc
#
29.04.2019108.54 Кб7Сваровская А. С..doc