- •Министерство образования и науки рф
- •Национальный исследовательский
- •Томский государственный университет
- •В.И. Рюмкин
- •Матрицы и векторы в экономике
- •1. Матрицы
- •1.1. Определения
- •1.2. Операции над матрицами
- •1.3. Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
- •1.4. Числовые функции от матриц
- •1.5. Задачи
- •2. Определители
- •2.1. Понятие определителя и его свойства
- •2.2. Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
- •2.3. Задачи
- •3. Ранг матрицы
- •3.1. Основные понятия и примеры
- •3.2. Понятия линейной независимости строк и столбцов матрицы. Базис в системе строк (столбцов) матрицы
- •3.3. Методы поиска ранга матрицы
- •3.3.1. Метод окаймляющих миноров
- •3.3.2. Метод элементарных преобразований
- •3.4. Задачи
- •4. Обратная матрица
- •4.1. Основные сведения
- •4.2. Методы поиска обратной матрицы
- •4.2.1. Метод союзной матрицы
- •4.2.2. Метод элементарных преобразований
- •4.3. Задачи
- •5. Векторы
- •5.1. Операции над векторами
- •5.1.1. Алгебраические операции над векторами
- •5.2. Линейная независимость и базис векторов
- •5.3. Геометрическая интерпретация векторов
- •5.3.1. Одномерные, двумерные и трехмерные пространства
- •5.3.2. Многомерные пространства
- •5.4. Задачи
- •6. Линейные преобразования
- •6.1. Основные сведения
- •6.2. Преобразование базиса
- •6.3. Характеристические числа и векторы
- •6.4. Задачи
- •7. Применение векторов и матриц в экономике
- •7.1. Балансовая модель Леонтьева
- •7.2. Модель равновесных цен
- •7.3. Модель международной торговли (модель обмена)
- •7.4. Задачи
- •Литература
- •Оглавление
1.2. Операции над матрицами
Операции сравнения: матрицы А и В называются равными (пишут ), если они имеют одинаковый порядок и все их элементы с одинаковыми индексами равны:
.
Говорят, что матрица A больше матрицы B (пишут ), если они имеют одинаковый порядок, причем
.
Операция сложения: суммой двух матриц A и B одного и того же порядка называется матрица C того же порядка, элементы которой определяются формулами
.
Пример 1.2. Пусть , . Тогда .
Операция умножения матрицы на число: любую матрицу A можно умножить на произвольное число k как слева, получив матрицу , так и справа, получив матрицу . При этом матрицы B и C равны между собой, имеют тот же порядок, что и матрица A. Элементы матриц и определяются формулами .
Пример 1.3. Пусть , . Тогда .
Свойства операций сложения и умножения матриц на число
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. .
Операция вычитания матрицы B из матрицы A определяется следующим образом: . Матрица называется матрицей, противоположной матрице A.
Операция умножения матрицы на матрицу: произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C, элементы которой определяются формулами
,
где число элементов в строках матрицы A и в столбцах матрицы B. Произведение имеет столько же строк, сколько левый сомножитель A и столько же столбцов, сколько правый сомножитель B.
Пример 1.4. 1) Пусть , . Тогда .
2) Пусть , . Тогда
;
.
В общем случае . Матрицы A и B, для которых , называются коммутативными (перестановочными). Единичная и нулевая матрицы коммутативны с любой матрицей, на которую их можно умножить.
Свойства операции умножения матрицы на матрицу
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. .
Операция возведения матрицы в степень. Пусть k есть целое неотрицательное число. Тогда k-й степенью матрицы A называется результат умножения матрицы A самой на себя k раз. По определению полагаем:
Число k при этом называется показателем степени.
Свойства операции возведения матрицы в степень
1. ,
2. .
Пример 1.5. Пусть . Тогда ; ; .
Операция транспонирования матрицы. Пусть произвольная матрица порядка . Матрица , состоящая из элементов, удовлетворяющих условию , называется транспонированной матрицей A и обозначается . Строки матрицы состоят из элементов столбцов матрицы A, а столбцы – из элементов строк матрицы A:
.
Свойства операции транспонирования матрицы
1. ,
2. .
Пример 1.6. Пусть . Тогда .
Операции элементарных преобразований над матрицами. Специальный класс операций над матрицами представляют операции, называемыми элементарными преобразованиями. К элементарным преобразованиям относятся следующие операции над матрицами:
1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля. Все другие элементы матрицы при этом остаются неизменными.
2) прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой ее строки (столбца), умноженных на одно и то же произвольное число. Все другие элементы матрицы при этом остаются неизменными.
3) перестановка двух каких-либо строк (столбцов) матрицы местами.
Теорема о представлении элементарных преобразований матриц операциями умножения. Справедливы следующие утверждения.
1. Умножение i-й строки матрицы на число эквивалентно операции умножения на эту матрицу слева квадратной матрицы вида
(1.1)
(число находится в i-й строке и i-м столбце; все остальные элементы – как в единичной матрице).
2. Прибавление к i-й строке матрицы ее j-й строки, умноженной на число , эквивалентно операции умножения на эту матрицу слева квадратной матрицы L вида
(1.2)
(число находится в i-й строке и j-м столбце; все остальные элементы – как в единичной матрице).
3. Перестановка строк матрицы местами может быть осуществлена конечной последовательностью умножений на эту матрицу слева специальных матриц вида (1.1) и (1.2).
Пример 1.7. Пусть . Тогда справедливы следующие представления:
а) умножение третьей строки матрицы A на 4:
.
б) прибавление ко второй строке матрицы А ее четвертой строки, умноженной на 3:
.
в) смена местами первой и третьей строк матрицы А:
1) прибавление к третьей строке матрицы А ее первой строки, умноженной на –1, то есть :
;
2) прибавление к первой строке полученной матрицы В ее третьей строки, умноженной на 1: :
;
3) прибавление к третьей строке полученной матрицы D ее первой строки, умноженной на –1, то есть :
;
4) умножение третьей строки полученной матрицы F на –1, то есть :
.
Таким образом, к смене мест первой и четвертой строк матрицы А ведет следующее преобразование: ,
где
; ; ; .