- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§23. Большое каноническое распределение
- •§25. Распределение Ферми-Дирака
- •§26. Распределение Бозе-Эйнштейна
§15. Микроканоническое распределение Гиббса
Рассматриваем замкнутую систему, и согласно принципу равной вероятности, все состояния системы, с заданной энергией , равновероятны.
Причём, т.к. система находится в состоянии со средним значением энергии, то
Для того чтобы получить распределение, учитывающее флуктуации энергии, мы используем теорему Лиувилля и перейдём к каноническому распределению Гиббса.
Аналогом соотношения для квантовых систем является соотношение:
Для замкнутых квантовых систем энергия системы – константа, тогда имеет место принцип равной вероятности всех микросостояний, которые отвечают данному значению энергии системы, тогда
, а значит
- это вероятность реализации -го состояния с энергией .
Но т.к. все состояния равновероятны:
- номер подсистемы.
§16. Каноническое распределение Гиббса
Удобно записать теорему Лиувилля в виде:
- есть интеграл движения, точнее есть функция различных интегралов движения.
Поместим систему в жёсткий неподвижный ящик, тогда, т.к. не может двигаться так: , то нет сохранения импульса. И так как не может вращаться , то нет сохранения момента импульса. Тогда осталось сохранение энергии, т.е. можем записать:
Само распределение пишется:
Это каноническое распределение Гиббса; для квантового случая навешивается - номер квантового состояния. - константа, не зависящая от состояния , которая находится из условия .
Здесь - температура в энергетической шкале – это удобно в теории. Хотя на практике измеряют в градусах.
,
тогда .
С истема 1 и термостат 2 образуют замкнутую систему. Здесь присутствует микроканоническое распределение.
На базе микроканонического распределения строят каноническое распределение.
Также можно получить каноническое распределение системы через принцип возрастания энтропии.
Рассмотрим систему 1, и считаем что состояние стационарное.
Найдём условие экстремума функции .
Мы используем - квантовые функции, т.к. это удобнее, чем использовать . При использовании вылезает константа из-за размерности . - это размерная величина, а логарифм надо брать от безразмерной величины, каковой и является .
Второе начало термодинамики:
т.е. если система выведена из состояния равновесия, то она идёт в развитии с увеличением , поэтому:
- имеем условие экстремума
Отсюда имеем задачу поиска экстремума функции .
Вероятность удовлетворяет условию нормировки:
-это условие для отыскания экстремума
Задача (1) и (2) является задачей поиска условного экстремума.
Однако с помощью метода неопределённых множителей Лагранжа можно найти экстремум . Для этого вводится функция
, где
Найдём производную :
здесь остальные члены при дифференцировании обращаются в нуль.
Найдём вторые производные:
, при
- это выражение отрицательное
Стало быть, мы имеем максимум, так как вторая производная меньше нуля.
Тогда из условия находим само условие экстремума.
константа находится из условия нормировки:
, где - число всех состояний
Выражение (*) есть принцип равной вероятности для замкнутой системы; это есть микроканоническое распределение.
Теперь найдём экстремум энтропии при двух условиях, а именно при:
и
Переходим от условного экстремума энтропии к безусловному экстремуму функции :
Берём производные:
(3) - это условие экстремума , это одно и то же что условие экстремума для при условиях и .
Обозначим , тогда:
Отсюда для имеем:
Постоянная находится из условия нормировки:
(5)
Выражение (5) называется статистической суммой. А выражение (4) – это каноническое распределение Гиббса.
Это распределение относится к системе:
Г де 1 находится в тепловом контакте с термостатом 2.
Микроканоническое распределение мы получали для замкнутых систем, где , т.е. условия и вырождаются в одно . И для микроканонического распределения мы получили:
А каноническое распределение получили, когда система 1 была в тепловом контакте с термостатом 2:
Константа находится из условия , т.е. - здесь среднее значение энергии, т.к. у нас случай термодинамики.
Найдём связь энтропии с энергией:
Тогда:
Используем условия и :
- это константа по энергии.
В термодинамике - это наблюдаемая величина, поэтому пишут эту величину просто , т.к. ( - из эксперимента, а - из теории).
Тогда:
Отсюда имеем , но ведь , а значит:
И мы определили второй неопределённый множитель Лагранжа.
Каноническое распределение Гиббса принимает вид:
, где
Аналогично пишут для , но тогда вместо статистической суммы будет интеграл.
Здесь - температура в энергетических единицах.