46

Московский государственный институт электронной техники

(технический университет)

А. И. Литвинов

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

для самостоятельной работы студентов

по курсу «Линейная алгебра»

Утверждено методическим советом каф. ВМ-2

Зав. кафедры С. Г. Кальней

МИЭТ, 2010 г.

—————————————————————————————————

Хочешь понять лучше – попробуй решать!!!

Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Линейная алгебра», преподаваемого на первом курсе факультета ЭТМО. Учитывается специфика факультета, направленность профессионального обучения бу­дущих инженеров-технологов.

Хотя основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор за­дач для самостоятельной доработки материала Предмета, по каждой теме представ­лена общая схема решения задачи и приведен частный пример применения общей схемы. Считаем важным также отработку принципов оформления материала по решён­ным задачам (домашние задания, контрольные работы и т.п.): инженер-технолог должен вырабатывать профессиональное восприятие оформления документа по любой разра­ботанной им задаче-технологии.

СОДЕРЖАНИЕ:

Стр.

Часть 1. Аналитическая геометрия (АГ):

§ 1. Векторы. Операции с векторами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

§ 2. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 3. Плоскость и прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Часть 2. Линейная алгебра (ЛА):

§ 4. Определители: вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 5. Матрицы: операции с матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 6. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 7. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 8. Линейные преобразования (операторы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 9. Квадратичные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 10. Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Терпенье и труд все перетрут!!!

§ 1. Векторы. Операции с векторами.

1.1. Дана система векторов: ,,, . Найти какой-нибудь базис этой системы векторов и все век­торы системы, не входящие в этот базис, выразить через векторы базиса.

Общие сведения. Базисом называют:

1^*. На прямой: любой ненулевой вектор . Всякий вектор , лежащий на этой прямой, мо­жет быть представлен в виде: =·, число – координата относительно этого ба­зиса.

2^*. На плоскости: любая пара неколлинеарных векторов ,. Всякий вектор , лежащий в этой плоскости, может быть представлен в виде: =·+·, числа – коорди­наты относительно этого базиса.

3^*. В пространстве: любые три вектора ,,, если они не компланарны. Всякий вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: =·+·+·, где ,, –координаты вектора относительно этого базиса.

Так как пространство можно рассматривать как общий случай 3-мерного пространства, а плоскость и прямую как частные случаи, то решать задачу будем для 3-мерных векторов.

Общая схема решения задачи:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов.

2). Если базис выделен, записываем линейную комбинацию: =·+·+·.

3). Решая систему уравнений, вычисляем неизвестные: ,,.

4). Оформляем ответ.

Примеры (и образец оформления):

Пример-1^*: Заданы векторы: =(1),=(3),=(2). Найти какой-нибудь базис этой системы векто­ров и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой прямой, то признаком существования базиса является присутствие в совокупности векторов ,, ненулевого вектора.

2). В качестве базиса примем вектор . Тогда можем записать: =·, =·.

3). Решаем уравнения: (3)=·(1); (2)=·(1), то есть уравнения: 3 = ·1; 2 =·1, из чего следует: =3; =2.

Ответ: один из базисов: ; тогда: =3, =2.

Пример-2^*: Заданы векторы: =(1,2),=(3,1),=(2,3). Найти какой-нибудь базис этой системы век­торов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторой плоскости, то признаком существова­ния базиса является наличие в совокупности векторов ,, хотя бы двух неколлинеарных векторов. В нашем случае среди заданных векторов нет коллинеарных. Это значит: любая пара векторов из заданной совокупности векторов может быть принята в качестве базиса.

2). В качестве базиса примем векторы и . Тогда можем записать: =·+·, то есть: ·(1,2)+· (3,1)=(2,3). Используя свойства линейных операций с векторами, представим по­следнее равенство в виде: (·1+·3; ·2+·1)= (2,3), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы уравнений: . Тогда можем записать: =.

Ответ: один из базисов: ,; тогда: =.

Пример-3^*: Заданы векторы: =(3,1,2),=(1,3,1) ,=(-1,2,4) , =(-2,4,7). Найти какой-нибудь ба­зис этой системы векторов и выразить через него остальные векторы заданной системы векторов.

Решение:

1). Проверяем признак наличия базиса в заданной совокупности векторов. Так как из записи векторов следует, что все они принадлежат некоторому пространству, то признаком сущест­вования базиса является наличие в совокупности векторов ,,, хотя бы трёх некомпла­нарных векторов. Так как векторы , неколлинеарные, то будем проверять тройки векто­ров ,,и ,,, используя понятие смешанного произведения:

=== 350, === -400.

2). В качестве базиса может быть принята любая из троек векторов из заданной системы векто­ров. Примем в качестве базиса тройку векторы ,,. Тогда можем записать: =·+·+·, то есть: ·(3,1,2)+·(1,3,1)+·(-1,2,4)=(-2,4,7). Используя свойства ли­нейных операций с векторами, представим последнее равенство в виде: (·3+·1–·1; ·1+·3+·2; ·2+·1+·4)=(-2,4,7), или в виде системы уравнений:

3). Решение системы: . Тогда можем записать: =·+·+·.

Ответ: один из базисов: ,,; тогда: =·+·+·.

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.	=(3,1,2),=(1,3,1),=(-1,2,4),=(-2,4,7).	16.	=(2,3,1),=(2,2,3),=(4,1,2),=(8,0,5).
2.	=(1,3,0),=(2,-1,1),=(1,-1,2),=(6,12,-1).	17.	=(4,2,3),=(3,2,-1),=(4,1,2),=(3,1,8).
3.	=(2,1,-1),=(4,3,2),=(1,-1,1),=(1,-4,4).	18.	=(1,2,-1),=(3,0,2),=(-1,1,1),=(8,1,12).
4.	=(4,1,1),=(2,-1,-3),=(-1,2,1),=(-9,5,5).	19.	=(1,4,1),=(-3,2,0),=(1,-1,2),=(-9,-8,-3).
5.	=(-2,3,1),=(1,3,-1),=(2,4,1),=(-5,-5,5).	20.	=(2,1,-2),=(3,-1,1),=(4,1,0),=(-5,9,-13).
6.	=(5,1,1),=(2,-1,3),=(1,2,-1),=(13,,7).	21.	=(0,5,1),=(3,2,-1),=(-1,1,0),=(-15,5,6).
7.	=(3,2,1),=(-2,2,1),=(3,1,-1),=(6,12,-1).	22.	=(2,2,-1),=(0,-2,1),=(1,3,1),=(8,9,4).
8.	=(3,1,2),=(2,1,1),=(2,-1,4),=(3,-3,4).	23.	=(2,2,1),=(1,-2,0),=(-3,2,5),=(3,-4,0).
9.	=(4,2,1),=(-1,2,1),=(-1,1,2),=(3,3,-1).	24.	=(2,1,3),=(3,5,3),=(4,2,1),=(3,1,3).
10.	=(-1,2,1),=(2,1,3),=(1,1,-1),=(-1,7,4).	25.	=(2,3,1),=(1,-1,2),=(2,-1,0),=(-1,7,0).
11.	=(1,1,4),=(0,-3,2),=(2,1,-1),=(6,5,-14).	26.	=(1,-1,2),=(3,2,0),=(-1,1,1),=(11,-1,4).
12.	=(1,-2,0),=(1,1,3),=(1,1,4),=(6,-1,7).	27.	=(-1,1,2),=(0,3,2),=(1,-1,1),=(1,3,-1).
13.	=(1,0,5),=(-1,3,2),=(1,-1,1),=(5,15,0).	28.	=(2,1,3),=(-1,0,4),=(3,2,4),=(4,1,3).
14.	=(1,3,2),=(0,-1,2),=(3,3,4),=(2,-1,11).	29.	=(-3,2,4),=(-2,0,1),=(2,3,1),=(3,-2,0).
15.	=(1,-1,2),=(-1,0,1),=(2,5,-3),=(11,5,-3).	30.	=(5,1,3),=(0,1,2),=(-1,1,1),=(1,1,1).

1.2. Заданы точки A,B,C,D в правой системе координат. Вычислить указанные в заданиях величины с точностью 0.001.

а) проекцию вектора на вектор ;

б) площадь треугольника ABC;

в) объём тетраэдра .

Общие сведения: по всем представленным заданиям:

1). Для удобства применения необходимых выражений обозначим: A=, B=, C=, D=. Тогда можем записать выражения для векторов, используемые во всех названных за­дачах: =B–A==;

=D–A==.

=C–A==.

2). Теперь приступим к решению задач, применяя формулы из общей теории.

а)^*. Заданы векторы и . Требуется найти проекцию вектора на направление, определяе­мое вектором . Из выражения для скалярного произведения заданных векто­ров: проекция вектора на направление может быть вычислена по формуле: =. Рисунки иллюстрируют формулы:

Для векторов, заданных в координатной форме, запишем необходимые для вычисления выражения:

=;

б)^*. Заданы векторы и . Требуется найти площадь треугольника, образованного векто­рами и . Известно, что площадь параллелограмма, заданного векторами и , опреде­ляется выражением: , где – модуль векторного произведе­ния векторов и . Для решаемой задачи это значит, что площадь треугольника, постро­енного на векторах и , можно вычислять по формуле:

, где ===∙ –∙j +∙k,

где – единичные векторы, определяющие направления осей правой прямоугольной системы координат .

в)^*. При вычислении объёма тетраэдра важно вспомнить, что , где – объём параллелепипеда. В задании требуется вычислить объём , определяемого тремя векторами ,,. Но этими же векторами определяется параллелепипед, объём которого вычисляется при помощи смешанного (векторно-скалярного) произведения этих векторов. Для иллюстрации используемых при решении задачи формул удобно привести все векторы к общей точке: так как векторы свободные, то от этого они не изменяются. На рисунке показаны все участвующие в формулах элементы.

Имеем: (x)∙=∙=∙=∙, где ||=H, причём =H, если тройка векторов – правая и =–H, если – левая. Из этой фор­мулы следует: (x)∙=V – объём параллеле­пи­педа, но со знаком.

Так как в задании требуется вычислить только объём, то независимо от того, какая тройка используется в вариантах задания, все используют формулу: |(x)∙|=|V|.

Итак, имеем векторы , ,. Вычисляем:

(x)∙=–+==.

Записываем окончательную формулу: =|(x)∙|.

Примеры (и образец оформления):

Общая часть. Пусть имеем точки A==(1,2,0), B==(1,1,2), C==(2,3,1), D==(0,1,-1). Построим векторы: =B–A=== (0,-1, 2);

=D–A===(-1,-1,-1).

=C–A===(1,1,1);

2). Теперь приступим к решению задач, применяя необходимые формулы.

Пример- а)^*: Используем полученные векторы: =(0,-1,2),=(-1,-1,-1). Требуется найти проекцию вектора на направление, определяемое вектором .

Решение:

1). Воспользуемся формулой: =.

2). Вычислим: ===–1.

3). Вычислим: ==.

4). Вычислим: ===–=–0.577350269... При заданной точности вычислений при­мем: =–0.577.

Ответ: =–0.577.

Пример- б)^*: Используем полученные векторы: =(0,-1,2), =(1,1,1). Требуется найти площадь треугольника, образованного векторами и .

Решение:

1). Общая формула: , где ===∙ –∙ +∙.

2). Вычислим: ==∙ –∙ +∙=–3+2–.

3). Вычислим: ==.

4). Вычислим: ==1.87082869... При заданной точности вычислений примем: =1.871.

Ответ: =1.871.

Пример- в)^*: Заданы векторы: =(0,-1,2),=(-1,-1,-1) , =(1,1,1). В задании требуется вычислить объём тетраэдра , определяемого тремя векторами ,,.

Решение:

1). Общая формула: =.

2). Вычислим: ===0 – векторы ,, компланарны.

3). Вычислим: |(x)∙|=0.

4). Вычислим: =0. При заданной точности вычислений примем: =0.000.

Ответ: =0.000.

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.	A=(1,3,6),B=(2,2,1),C=(-1,0,1),D=(-4,6,3).	16.	A=(1,5,-7),B=(-3,6,3),C=(-2,7,3),D=(-4,8,-12).
2.	A=(-4,2,6),B=(2,-3,0),C=(-10,5,8),D=(-5,2,4).	17.	A=(-3,4,-7),B=(1,5,-4),C=(-5,-2,0),D=(2,5,4).
3.	A=(7,4,2),B=(7,-1,-2),C=(3,3,1),D=(-4,2,1).	18.	A=(-1,2,-3),B=(4,-1,0),C=(2,1,-2),D=(3,4,5).
4.	A=(2,1,4),B=(-1,5,-2),C=(-7,3,2),D=(-6,-3,6).	19.	A=(4,-1,3),B=(-2,1,0),C=(0,-5,1),D=(3,2,-6).
5.	A=(-1,-5,2),B=(-6,0,3),C=(3,6,-3),D=(-10,6,7).	20.	A=(1,-1,1)B=(-2,0,3),C=(2,1,-1),D=(2,-2,4).
6.	A=(0,-1,-1),B=(-2,3,5),C=(1,5,-9),D=(-1,-6,3).	21.	A=(1,2,0),B=(1,-1,2),C=(0,1,-1),D=(-3,0,1).
7.	A=(5,2,0),B=(2,5,0),C=(1,2,4),D=(-1,1,1).	22.	A=(1,0,2),B=(1,2,-1),C=(2,-2,1),D=(2,1,0).
8.	A=(2,-1,-2),B=(1,2,1),C=(5,0,-6),D=(-10,9,-7).	23.	A=(1,2,-3),B=(1,0,1),C=(-2,-1,6),D=(0,-5,-4).
9.	A=(-2,0,-4),B=(-1,7,1),C=(4,-8,-4),D=(1,-4,6).	24.	A=(3,10,-1),B=(-2,3,-5),C=(-6,0,-3),D=(1,-1,2).
10.	A=(4,4,5),B=(-5,-3,2),C=(-2,-6,-3),D=(-2,2,-1).	25.	A=(-1,2,4),B=(-1,-2,-4),C=(3,0,-1),D=(7,-3,1).
11.	A=(1,2,0),B=(3,0,-3),C=(5,2,6),D=(8,4,-9).	26.	A=(0,-3,1),B=(-4,1,2),C=(2,-1,5),D=(3,1,-4).
12.	A=(2,-1,2),B=(1,2,-1),C=(3,2,1),D=(-4,2,5).	27.	A=(-1,0,3),B=(4,2,1),C=(-3,-1,0),D=(4,1,5).
13.	A=(1,1,2),B=(-1,1,3),C=(2,-2,4),D=(-1,0,-2).	28.	A=(2,4,-2),B=(0,1,-3),C=(1,4,7),D=(-3,0,5).
14.	A=(2,3,1),B=(4,1,-2),C=(6,3,7),D=(7,5,-3).	29.	A=(-1,0,2),B=(3,7,1),C=(1,2,5),D=(-4,0,1).
15.	A=(1,1,-1),B=(2,3,1),C=(3,2,1),D=(5,9,-8).	30.	A=(2,3,4),B=(-5,1,0),C=(2,7,1),D=(-3,0,5).