§ 4. Определители.

4.1. Вычислить определители: а) разложением по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Заметим, прежде всего, что выполнение обоих заданий требует знания всех свойств определителя и применения их при вычислении конкретных определителей. Но применение этих свойств должно учитывать их группировки:

▫ свойства, определяющие равенство определителя нулю;

▫ свойства, определяющие эквивалентные преобразования определителя: не изменяющие его величины.

Учёт этих группировок позволяет сделать планирование и выполнение преобразований целесообразными и осознанными.

Геометрически задания а) и б) следует воспринимать так: любой заданный или преобразуемый определитель необходимо привести к форме:

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

○

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

или

○

○

●

●

●

●

○

○

○

☺

○

○

○

○

○

●

●

●

●

●

●

●

●

●

○

○

○

○

●

●

●

●

●

●

●

●

○

○

○

○

○

●

где символ [○] отмечает, что в выделенной ячейке находится ноль. Символ [☺] отмечает элемент строки, не равный нулю, который реализует разложение определителя по строке.

Замечание: если определитель подготавливается для его разложения по столбцу, то нулями заполняется столбец.

Примеры (и образец оформления):

Пример-1. Пусть задан определитель: разложением по строке (столбцу).

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d=(1)=·=(2)==(3)=

=–·=(4)=·=(5)=.

Операции: (1): выносим за знак определителя общие множители из столбцов: 1,2,3,4. (2): выполняем: [C1]–[C3]. (3): выполняем разложение по столбцу-1. (4): [C1]–[C2]·2. (5): выполняем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.

Ответ: d =.

Замечание: этот пример иллюстрирует пользу вынесения общих множителей, обнаруживаемых в строке или столбце, для выбора наиболее рациональных направлений преобразования определителя.

Пример-2: Вычислить определитель: приведением к треугольному виду.

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d= =(1)== (2)= 10.

Операции: (1): [R3]+[R1]; [R4]–[R1]. (2): получен определитель треугольного вида → завершаем вычисление: произведение элементов главной диагонали.

Ответ: d =10.

Замечание: этот пример иллюстрирует возможности использования треугольного вида записи определителя.

Пример-3: Вычислить определитель: двумя способами: а) разложением по строке или столбцу; б) приведением к треугольному виду.

Решение:

Способ-1. Применяем операции со строками и столбцами с целью понижения порядка определителя так, чтобы максимально уменьшить вычислительные трудности и угрозу ошибок.

1. Уменьшим элементы определителя, применяя сложение и вычитание строк и столбцов, затем приводим определитель к виду, наиболее удобному для понижения порядка:

d=(1)= =(2)==(3)=(–2) =2·.

Операции: (1): [C4]–[C1]; [C1]–[C2]. (2): [C3]–[C1]; [R3]+[R4]. (3): так как определитель в столбце [C3] содержит только один элемент не равный нулю, применяем разложение определителя по этому столбцу: понижение порядка вычисляемого определителя.

2. Продолжим действия, аналогичные тем, что представлены в пункте-1:

d=2·=(1)=2·=(2)=2·1··=(3)= –2·25=–50.

Операции: (1): [R1]–[R2]; [R3]+[R2]. (2): так как определитель в столбце [C1] содержит только один элемент не равный нулю, применяем разложение определителя по этому столбцу. (3): легко получаем значение определителя.

Ответ: d =–50.

Способ-2. Применяем операции со строками и столбцами с целью получения определителя треугольного вида.

1. Добиваемся получения нулей под главной диагональю:

d=(1)= =(2)= =(3)= =(4)=.

Операции: (1): [C1]–[C2]. (2): [R2]–[R1]; [R3]+[R1]. (3): [R3]+[R2]·2; [R2]+[R4]·2. (4): [R4]+[R2]; [R4]+[R3]·3: получен определитель треугольного вида, вычисление которого не представляет труда.

2. Записываем значение определителя: d =–50.

Ответ: d =–50.

Замечание: при вычислении конкретных определителей число шагов, приводящих к понижению порядка определителя, может быть различным: важно все шаги документировать!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.