§ 2. Прямая на плоскости.

2.1. Даны уравнения двух прямых. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного этими прямыми.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Пусть имеем две прямые: : x+y+=0 и : x+y+=0. Уравнением определя­ется вектор нормали , уравнением вектор нормали . Так как векторы и – свободные, то изобразим их так, чтобы их начала принадлежали соответствующим плоскостям, а сами они располагались внутри одного из углов, образованных пересекающимися прямыми. Важно помнить также, что уравнение прямой можно умножать на произвольное, не равное нулю число. Это значит, что, по необходимости, мы можем разместить векторы и как внутри тупого, так и внутри острого угла. Пусть векторы и разместились внутри тупого угла, как показано на рисунке. Умножим уравнение на число (-1). Вектор нормали этой прямой станет равным , и пара векторов и располо­жится внутри острого угла. Видим, когда векторы нормалей плоскостей располагаются внутри тупого угла угол между ними острый. И наоборот, если векторы расположились внутри острого угла, то угол между ними тупой. Какой из случаев реализуется в конкретном примере, легко определить при помощи скалярного произведения:

а) ∙ > 0 – век­торы расположены в области тупого угла;

б) ∙ < 0 – векторы расположены в области ост­рого угла.

Так как от случая а) легко перейти к случаю б), то для определённости будем считать, что всегда нужно строить биссектрису тупого угла.

Отметим факт: рассматриваемую задачу относят к классическим задачам аналитической геометрии. Важно также то, что существует несколько способов решения этой задачи, причём существенно различающихся как по теоретическим основам, так и технологии применяемых вычислений!

Способ–1. Пусть ∙ > 0: векторы и располагаются в области тупого угла.

Воспользуемся свойством биссектрисы: каждая принадлежащая ей точка одинаково уда­лена от сторон угла, который биссектриса делит пополам.

Для эффективного (и удобного) исполь­зования понятия расстояние от точки до пря­мой, каждое из уравнений заданных прямых необходимо нормализовать. Нормированное урав­нение прямой удобно как для вычисления отклонения точки от плоскости, так вычисления рас­стояния от точки до плоскости. В нашем случае задача упрощается, так как отклонения и произвольной точки биссектрисы от прямых и имеют одинаковые знаки и можно записать: =. Это значит уравнение биссектрисы, как геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, которому эта биссектриса принадлежит, можно записать в виде:

=. (B¹)

Если бы теперь нужно было построить биссектрису острого угла, то её уравнение должно быть записано в виде:

= –. (B²)

Замечание: Если бы векторы и располагались в области острого угла, то биссектриса острого угла определялась бы выражением (B¹), а биссектриса тупого – выражением (B²).

Способ–2. В этом случае примем схему решения задачи: а) находим точку M₀(x₀,y₀) пересече­ния прямых и ; б) находим направление биссектрис ; в) проводим прямую через заданную точку в заданном направлении.

Для определения направления биссектрис l_В построим единичные векторы: и , затем суммы: =+ – этот вектор определяет направление биссектрисы угла, содержащего векторы ,; =–– определяет направле­ние биссектрисы угла, смежного первому.

Используя угловой коэффициент вектора , строим биссектрису угла, содержащего век­торы ,; если использовать угловой коэффициент век­тора , построим биссектрису смеж­ного угла.

Замечание: на самом деле, достаточно найти только один вектор : для первой биссектрисы он играет роль направляющего вектора, а для второй – роль вектора нормали.

Способ–3. Воспользуемся уравнением пучка прямых: : и вектором . Параметр прямой выбирается из условия: .

Интересно рассмотреть один и тот же пример, решив его сразу всеми тремя способами: это позволит сравнить их трудоёмкости!

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного пересекающимися прямыми: и .

Задачу решим, применяя все рассмотренные способы.

Способ–1. Используем равенство отклонений = каждой точки биссектрисы от сторон тупого угла, которому она принадлежит.

Решение:

1). Запишем векторы: , . Вычислим: ∙=3·12+(-4)·5>0. Это значит, что векторы и располагаются в области тупого угла.

2). Общая запись уравнения биссектрисы имеет вид: =, а в нашем случае: =, откуда получаем уравнение искомой биссектрисы: .

Ответ: .

Способ–2. В этом случае применим схему решения задачи: а) находим точку пересечения прямых и ; б) находим направление бис­сектрис ; в) проводим прямую через заданную точку в заданном направлении.

Решение:

1). Координаты находим из системы урав­нений: → =.

2). Так как и , то и . Тогда: =–=–(3,11). Вектор можно принять в качестве нормали искомой биссектрисы. Удобнее принять коллинеарный ему вектор: .

3). Общее уравнение биссек­трисы запишем в виде: . В нашем примере: 3+11=0, или .

Ответ: .

Способ–3. Воспользуемся уравнением пучка прямых: , или в виде: и направляющим вектором =(11,–3)..

Решение:

1). Вычислим угловой коэффициент прямой пучка: .

2). Вычислим угловой коэффициент направляющего вектора: –.

3). Воспользуемся равенством: =–, откуда получаем: .

4). Подставляем значение в уравнение: . Окончательно записываем уравнение искомой биссектрисы: .

Ответ: .

Выводы: 1). В рассматриваемой задаче Способ–1 демонстрирует великолепные возмож­ности использования нормальных уравнений прямой!

2). Применение Способа–3 демонстрирует эффективность использования конструкции пучок.

3). Применение Способа–2 также полезно, так как требует минимум специальных знаний. Это может сработать при выполнении контрольной работы!

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

2.2. Даны координаты вершин и треугольника и точка пересечения его высот. Найти координаты вершины треугольника.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Пусть прямая : x+y+=0 определяет сторону треугольника, а прямая :x+y+=0 сторону . Тогда вектор можем принять в качестве нормали прямой , а вектор в качестве нормали прямой . Остаётся воспользоваться уравнением прямой, для которой задан вектор нормали и точка, принадлежащая прямой! Как только будут построены уравнения прямых, нетрудно найти их точку пересечения .

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть вершины и треугольника : =(-10,2), =(6,4) и точка пересечения его высот: =(5,2). Найти координаты вершины .

Решение:

1) Вычислим: =–=(5,2)–(6,4)=(-1,-2)=; =–=(5,2)–(-10,2)=(15,0)=.

2). Заменим полученные векторы нормалей коллинеарныvми им, но более простые в записи:

=(1.2), =(1,0).

3). Воспользуемся общим уравнение прямой для случая, когда задан вектор нормали прямой и точка, принадлежащая прямой: . Тогда получим:

: → ;

: → .

4). Вычислим координаты точки : откуда , .

Ответ: =.

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:			Вар.	Задание:
1.				16.
2.				17.
3.				18.
4.				19.
5.				20.
6.				21.
7.				22.
8.				23.
9.				24.
10.				25.
11.				26.
12.				27.
13.				28.
14.				29.
15.				30.

2.3. Даны координаты вершин треугольника . Составить уравнения: стороны , высоты, биссектрисы, медианы и проведённых из вершины A.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Для решения задачи необходимо вспомнить формулы, определяющие уравнение прямой, для случаев:

1^*. Заданы две точки, принадлежащие прямой. Тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки записывают в форме : , где =.

2^*. Заданы: точка A, принадлежащая прямой, и направление прямой. Для построения уравнения прямой, содержащей высоту, опущенную на , учтём: . Это значит: . Так как после построения уравнения будет известно, то уравнение прямой может быть записано в виде : , где =.

3^*. Тремя точками задан угол с вершиной в точке . Прямая проходит через точку и делит угол: пополам. Эту задачу можно решить двумя вариантами:

а). Используем равенство углов: =. Обозначив угловой коэффициент прямой через , запишем: =, причём угловые коэффициенты сторон заданного угла вычисляют по формулам: , . Для искомой прямой уравнение принимает вид: : .

б). Определим направление стороны угла единичным вектором: , стороны – единичным вектором: . Тогда направляющий вектор прямой, совпадающей с биссектрисой может быть записан в виде: . После этого остаётся воспользоваться каноническим уравнением прямой: =.

4^*. Заданы : точка , принадлежащая прямой, и концы отрезка точками и . Прямая совпадает с медианой, проведённой из точки к середине отрезка – точке . Далее задача совпадает с задачей 1^*: записываем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки записывают в форме : , где =.

Пример (и образец оформления):

Общая часть. Пусть задан треугольник его вершинами: ,,. Составить уравнения: стороны , высоты, медианы и биссектрисы, проведённые из вершины A.

Решение задачи 1^*.

1). Уравнение прямой , содержащей точки и : , где =.

2). Вычислим ===4.

3). Запишем уравнение прямой : , или в виде: .

Ответ: .

Решение задачи 2^*.

1). Уравнение прямой , содержащей высоту , опущенную на : , где =.

2). Учитывая результат задачи 1*, вычислим ==.

3). Запишем уравнение прямой : , или в виде: .

Ответ: .

Решение задачи 3^*.

1). Уравнение биссектрисы определим двумя способами.

Способ-1. Общая запись уравнения: : y–=(x–), где вычисляем из выражения: =, причём , .

1). Вычислим , . Тогда =0.

2). Уравнение принимает вид: .

Ответ: .

Способ-2. Общая запись канонического уравнения : =, где =, причём , ==; ===.

1). Вычислим: ==(4,-3) –(1,1)=(3,-4); =5 →=(3,–4);

==(7, 9) –(1, 1)=(6,8); =10 →=(3,4).

2). Тогда: =(3,–4)+(3,4)=(3,0) → принимаем: =(1,0).

3). Получили уравнение в виде: =, или: .

Ответ: .

Решение задачи 4^*.

1). Уравнение прямой , содержащей медиану , проведённую из точки к середине отрезка – точке , имеет вид: , где =.

2). Вычислим координаты точки M из условия: =, или M ===.

3). Тогда: == и уравнение принимает вид: , или: .

Ответ: .

Замечание: при оформлении задания использование рисунка (в карандаше, с использованием чертёжных инструментов) обязательно!

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:			Вар.	Задание:
1.				16.
2.				17.
3.				18.
4.				19.
5.				20.
6.				21.
7.				22.
8.				23.
9.				24.
10.				25.
11.				26.
12.				27.
13.				28.
14.				29.
15.				30.