- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§23. Большое каноническое распределение
- •§25. Распределение Ферми-Дирака
- •§26. Распределение Бозе-Эйнштейна
§6. Роль классической механики в квантовой механике
Два момента присутствия классической механики в квантовой механике:
Измерение микросистем (квантово-механических систем) проводятся с помощью классических приборов (систем).
Принцип соответствия – переход квантово-механических результатов в классическую механику ( 0, можно ввести такую величину размерности действия A, что ). По Эйнштейну этот переход характеризуется . Если , то переход в классическую механику Ньютона.
[§7.] Волновая функция и ее свойства
Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы с точностью до фазового множителя, т. е.
т. е. и описывает одно и тоже состояние, где - фазовый множитель. Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки). Функции - нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точки не нормируема.
- элементарный объем
- вероятность того, что динамические переменные лежат в интервале . Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций. Для не квадратично интегрируемых функций величина пропорциональна плотности вероятности.
[§8.] Принцип суперпозиции состояний
Если мы имеем состояния системы, описываемые функциями , то суперпозиции этих функций также отвечает некоторое состояние этой системы:
Отсюда получаем: уравнения, которым подчиняется функция должны быть линейными. Этот же вывод распространяется и на операторы в квантовой механике. Принцип суперпозиции требует использования в квантовой механике линейных операторов.
§12. Среднее значение измеряемой величины
По определению
(12.1)
Рассмотрим оператор с дискретным спектром. Разложим по собственным функциям оператора :
(12.2)
По равенству Парсеваля .
Т.к. оператор линейный, то его можно занести под знак суммы:
(12.3)
Подставляя (12.3) в числитель, а (12.2) в знаменатель для (12.1), имеем
Из теории вероятности , где - вероятность получения , тогда
§13. Вероятность результатов измерения
Пусть - вероятность того, что при измерении величины для системы, находящейся в состоянии мы получим результат . Если система находится в состоянии , то величина при измерении выходит с вероятностью равной 1:
В общем случае;
Если полная производная оператора удовлетворяет равенству
,
то собственная функция оператора описывает состояние системы.
Для непрерывного спектра, вероятность того, что результаты измерения величины A для системы, находящейся в состоянии , лежит в интервале от до , определяется следующим выражением:
, (13.1)
или плотность вероятности