- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§23. Большое каноническое распределение
- •§25. Распределение Ферми-Дирака
- •§26. Распределение Бозе-Эйнштейна
§5. Два способа усреднения в статистической физике
Будем иметь дело со стационарными процессами.
Рассмотрим случайную величину , где и это динамические переменные (их штук). Но можно рассматривать и случайную величину , где - время (это одна переменная).
Усреднение по времени производим так:
(**)
Если - случайная величина, то её усреднение соответствует усреднению по фазовой траектории в фазовом пространстве.
Зависимость координат от времени в фазовом пространстве определяется фазовой траекторией.
Усреднение по времени имеет основой эксперимент, т.к. экспериментатор наблюдает случайную величину во времени.
Назовём временем релаксации. Если T» , то предел (**) хорошо согласуется с практикой. И тогда принимают .
Усреднение по времени, однако не удобно в теории, это усреднение по одной реализации.
Другое усреднение – статистическое. Оно основано на усреднении случайной величины как функции и .
Каждой точке фазового пространства ставится в соответствие величина ( как функция и ). Потом вводится вероятность попадания этой точки в элементарный объём фазового пространства:
здесь - элементарный объём фазового пространства.
Говорят, что - это функция распределения, определяющая плотность вероятности попадания точки в элементарный объём.
И вводится понятие статистического среднего, или среднего по ансамблю:
§6. Понятие ансамбля систем
Имеем совокупность макроскопических идентичных систем, именуемых ансамблями. Можем говорить, что конкретная точка фазового пространства соответствует конкретному состоянию одной из систем этого ансамбля.
У систем может быть различное динамическое состояние, так как точки перемещаются в пространстве. Хотя число точек, поля и т.п. у систем будут одинаковыми. Это и будет ансамблем, если таких систем будет неограниченно много.
Часто, т.к. рассматриваются стационарные процессы, то фазовая траектория очень длинная (бесконечная), тогда говорят, что фазовую траекторию, при рассмотрении предела , можно разбить на достаточно длинные траектории, которым можно приписать системы из ансамбля.
§7. Эргодическая гипотеза
Согласно эргодической гипотезе, для наблюдаемых величин в статистической физике водится:
Процессы или поля для которых удовлетворяется это равенство называют эргодическими.
- это усреднение по пространству реализаций, где -случайное поле, т.к. здесь больше одной переменной у
- усреднение по аргументам, которые «сидят» в . - это случайный процесс, т.к. одна переменная в .
§8. Равновесное состояние системы
Для стационарных процессов в случае систем с большим числом степеней свободы обнаруживается (где процесс ), что в процессе измерения величины , она основное время пребывает в состоянии, имеющим значение близкое к числу (которое практически не отлично от ).
Система длительное время пребывает в состоянии со значением . Это значение представляется, таким образом, наиболее вероятным значением случайной величины .
Состояние системы, описываемое наиболее вероятными значениями макропараметра, называется равновесным. Стационарная макросистема основное время пребывает в равновесном состоянии, хотя бывают кратковременные флуктуации.
В термодинамике, во всех термодинамических соотношениях, используются равновесные состояния. Например, под понимают (пишут , а подразумевают ).