§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса

Далее будем излагать без константы , т.к. она нам в ближайших расчётах не понадобится.

здесь , а - число степеней свободы.

В квазиклассике:

Рассмотрим систему из материальных точек и в качестве степеней свободы выберем переменных:

т.е. это обычное трехмерное пространство.

Тогда можем в явном виде записать кинетическую энергию и аргументы потенциальной энергии:

и

здесь время отсутствует, потому что решается стационарная задача.

И функция плотности вероятности и вероятность зависят от всех выше указанных переменных:

(15)

Каждый вектор - т.е. это элементарный объём соответствующего трёхмерного пространства.

Вероятность говорит о событии:

где .

Если имеем вероятность некоторого совместного события:

то вероятность одного из них:

тогда:

(16)

Используем соотношение (16), чтобы, зная вероятность (15), найти плотность распределения импульсов (в данном случае импульса первой точки):

Аналогично (16) получаем:

здесь интегралов

Для функции имеем:

При интегрировании функция даст константу, а выносится за интеграл тогда:

Из условия нормировки найдём константу :

Далее индекс «1» ставить не будем, т.к. если все точки одинаковы, то нет смысла выделять точку (для всех точек распределение будет одинаковое).

и

(Далее Т – температура)

Тогда:

, а

все переменные меняются в пределах от до , тогда получаем:

где

Тогда получаем:

Само распределение имеет вид:

Мы получили распределение вероятностей импульсов или распределение Максвелла. Хотя его ещё называют распределением Больцмана.

Эта вероятность говорит о событии:

здесь три неравенства, т.к. имеется три проекции импульса.

§23. Большое каноническое распределение

Запишем первое начало термодинамики, при учёте, что происходит обмен частицами:

где - число частиц, а - химический потенциал.

П усть между системами 1 и 2 идёт обмен частицами (материальный контакт) и энергетический контакт (теплой обмен).

Для энтропии можем записать:

Ранее мы писали соотношение:

Теперь добавим туда и перепишем его:

Поступая аналогично случаю теплового контакта, мы получаем, что равновесие при тепловом и материальном контакте наступает при

и , т.е.

и

Аналогично получают большое каноническое распределение:

система находится в квантовом состоянии и имеет частиц.

В данном случае система находится в тепловом и материальном контакте.

Еще большое каноническое распределение называют распределением Гиббса с переменным числом частиц.

Здесь статистическая сумма и .

- набор квантовых чисел, характеризующих состояние системы.

§25. Распределение Ферми-Дирака

Чтобы получить распределение Ферми-Дирака надо посчитать термодинамический потенциал :

- одночастичная большая статистическая сумма.

И с помощью посчитаем число состояний с учетом свойств Ферми-частиц.

Напомним, что:

здесь отсутствует взаимодействие между частицами, но имеет место обменное взаимодействие, т.е. за счёт спина (влияние сорта частиц на результат)

Для Ферми-частиц либо 1.

Рассчитаем для Ферми-газа:

где .

Мы получили распределение Ферми-Дирака. Это среднее число Ферми частиц в -том состоянии.

Придадим другой смысл. По определению:

Таким образом, это вероятность обнаружить одну Ферми частицу в -том состоянии: