§ 25. Стационарное состояние различных систем

Задача на собственные функции и собственные значения для оператора :

(25.1)

Волновое уравнение:

(25.2)

Как только поставили в соответствие системе оператор , то можем решать волновое уравнение, находим , которая определяет состояние системы.

Собственные функции задачи (25.1) и функции, являющиеся решением волнового уравнения совпадают при условии выполнения:

, тогда . Это условие совместности решений (25.1) и (25.2).

Так как , то гамильтониан системы явно от времени не зависит, т. е. поле стационарно (задача стационарна) – это говорит о совместности решений (25.1) и (25.2).

Рассмотрим стационарную задачу , тогда не зависит от времени. Это либо:

Замкнутая система.

Система в стационарном внешнем поле.

Используя (25.1) и (25.2), получим

Это дифференциальное уравнение имеет решение

Подставим эту функцию в (25.1), тогда

.

Тогда получим

Получили стационарное уравнение Шредингера.

[§ 28.] Собственный механический момент (спин)

Рассмотрим Na. У него есть желтая линия . Возникает при переходе с уровня 3p на 3s.

Первоначально ее длина была 5892

Было обнаружено, что эта линия расщепляется на две: дублет.

Возникла идея расщепления уровня 3p на два, тогда можно объяснить возникновение двух линий.

Их длины: 5896 и 5890 .

В 1925 г. Была предложена гипотеза спина, т. е. собственного механического момента.

У электрона спиновое число s= .

Впоследствии Паули ввел спин в теорию.

Если имеем одну частицу, то она характеризуется орбитальным квантовым числом .

Составная частица (атом) состоит из многих микрочастиц. Можно рассматривать эту составную частицу вцелом и приписать ей момент , который описывает орбитальное движение частицы как целого.

Энергетический уровень этой составной частицы в некоторых полях будет зависеть от орбитальных моментов микрочастиц .

Эти моменты являются внутренним свойством этой составной частицы.

Можно рассматривать 2 момента:

1. . Этот момент описывает внутреннее движение частицы (относительно центра инерции)

2. Частица сама движется по некоторой траектории.

У частицы есть еще квантовое число , характеризующее собственный механический момент.

Вводят оператор собственного механического момента:

По аналогии

Спин – внутреннее свойство частицы. Его смысл – у частицы есть внутренний параметр, который реагирует на вращение координат независимо от места положения частицы.

§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы

Статистическая физика изучает системы с большим числом степеней свободы. Наличие большого число степеней свободы вносит некоторые особенности в описание таких систем. Например, в воздуха содержится ~ 2.7,·10¹⁹ частиц (число Лошмидта), но у каждой материальной точки (частицы) имеется 3 степени свободы, поэтому у этой системы огромное число степеней свободы.

В классической механике возможно описывать такие системы (через формализм Гамильтона) - динамических переменных , где - число степеней свободы. Описание системы сводится к решению уравнений:

Чтобы решить данную систему, необходимо задать начальных условий. Задаем начальные условия и решаем систему. Но здесь сложные технические трудности(долгий счёт на ЭВМ). Но имеются ещё и качественные особенности этих систем, которые не охватываются этими уравнениями, т.е. детерминированный подход здесь не используют.

Статистическая физика рассматривает переход от малого числа степеней свободы к большому. и - это динамические переменные. Фазовое пространство – это мерное пространство, декартовыми осями которого являются переменные и . Тогда состояние системы (которое задаётся динамическими переменными) в фазовом пространстве задаётся фазовой точкой. Движение системы в реальном пространстве задаётся движением фазовой точки в фазовом пространстве, т.е. устанавливается соответствие между фазовым и реальным пространствами.