- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§23. Большое каноническое распределение
- •§25. Распределение Ферми-Дирака
- •§26. Распределение Бозе-Эйнштейна
§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
Р ассмотрим систему состоящую из некоторого числа подсистем.
Даны две подсистемы и их область контакта. Взаимодействие между подсистемами идёт через границу, через приграничный слой в который проникает взаимодействие.
Чем больше время наблюдения, тем глубже проникает взаимодействие в подсистемы. Чем меньше время, тем уже этот слой.
Если слой очень узок, то взаимодействием можно пренебречь, в течение достаточно малого промежутка времени. Такие системы называются квазизамкнутыми.
С точки зрения теории вероятностей вводят понятие статистической независимости.
- обладает свойством мультипликативности, т.е. её можно разбить на произведение элементарных объёмов подсистем:
Здесь - это подсистемы.
В общем случае - немультипликативна. Но для статистически независимых подсистем тоже мультипликативна:
На языке средних:
Здесь - это функция координат -той подсистемы, тогда:
Тогда можно усреднять параметры, относящиеся к переменным данной подсистемы.
Вероятность , тогда тоже разбивается на .
Статистическую независимость обычно рассматривают при .
§11. Принцип равновероятности микросостояний
Бывает необходимо подсчитать число микросостояний, которые отвечают данному макросостоянию. Принцип равновероятности говорит, что все микросостояния, реализующие данное макросостояние, равновероятны (иногда в этом определении добавляют – для замкнутой системы).
§12. Статистический вес макросостояния
Статистический вес макросостояния – это число микросостояний, реализующих данное макросостояние.
§13. Статистическая энтропия
Вводится понятие энтропии:
- на языке плотности вероятности.
- на языке функции распределения.
Оказывается, что
где - статистический вес макросостояния.
§14. Теорема Лиувилля
Утверждается, что функция есть интеграл движения:
С помощью этой теоремы далее делаются выводы, которые приводят к получению функции или .
Если рассматривается случай квантовой статистики, то:
, где ( - это номер состояния)
А среднее:
, где
Из теоремы Лиувилля извлечём свойство:
Так как - интеграл движения, то она может быть представлена через комбинацию имеющихся у системы интегралов движения , т.е. число интегралов движения – конечное число.
Для простоты часто рассматривают так называемое микроканоническое распределение.
В случае квазизамкнутых статистически независимых систем для плотности вероятностей мы писали:
, - число подсистем
И для :
-это следствие статистической независимости подсистем.
Для квантового случая пишут , -индекс подсистемы, - номер квантового состояния.
Тогда , т.е. логарифм от есть величина аддитивная.
Из теоремы Лиувилля имеем:
, - интеграл движения
т.е. можно получить как суперпозицию интегралов движения. Для квазизамкнутых систем (в частном случае) имеем: - интеграл движения, - аддитивная величина.
Тогда можно представить как суперпозицию аддитивных интегралов движения.
В большинстве случаев ограничиваются одним из семи интегралов движения, а именно энергией. Для -ой системы можем записать:
В этом выражении 7 интегралов движения: один в энергии, три в импульсе и три в моменте импульса.
Когда систему помещают в жёсткий ящик, где она не может ни вращаться, ни перемещать, то зависимость от и пропадает, и остаётся:
здесь и - произвольные константы.
В силу макроскопичности системы, влияния граничных условий ящика на общее термодинамическое состояние нет, есть лишь влияние в тонком приграничном слое.
В квантовом случае, можно взять равной , где - это коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора Гамильтониана (оператора энергии).