- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§23. Большое каноническое распределение
- •§25. Распределение Ферми-Дирака
- •§26. Распределение Бозе-Эйнштейна
[§3.] Принцип неопределенности
Две формулировки:
В микромире понятие “траектория” отсутствует
Канонически сопряженные величины одновременно неизмеримы
В трехмерном пространстве канонически сопряженные величины будут:
px и x
py и y
pz и z
Здесь n=3. Имеем 3 одновременно измеряемые динамические переменные. Например:
px. py. pz
x, y, z
x, y, pz и тд.
[§4.] Полный набор динамических переменных
Полный набор динамических переменных – это наибольший набор независимых одновременно измеримых динамических переменных. Измерение полного набора динамических переменных полностью определяет состояние квантово-механической системы. Число динамических переменных в квантовой системе - n и по сравнению с классической системой (2n) уменьшается в 2 раза. Максимальный набор – это значит, что к этому набору не может быть добавлена ни одна другая переменная, которая не являлась бы их функцией. В этом случае они не зависимы. Каждая из этих переменных не является функцией другой переменной из этого же набора. Заметим, что здесь зависимость не линейная (как в линейной алгебре), а функциональная.
[§5.] Постулаты квантовой механики
Часто выделяют 4 постулата:
Постулат о волновой функции.
Каждой системе (состоянию кв.-мех. системы) может быть поставлена в соответствие волновая функция динамических переменных (из полного набора) и времени, полностью описывающей состояние системы.
Динамические переменные одновременно измеримы. - n – мерный вектор динамических переменных; функция динамических переменных и времени - описывает эволюцию квантово-механических систем. классической механике задание 2n динамических переменных полностью определяет состояние системы через функцию Гамильтона. В квантово-механической системе описывается эволюция системы через - функцию от n динамических переменных.
О связи физических величин и объектов математики (операторов).
Каждой физической величине (наблюдаемой) ставится в соответствие оператор:
Связь между результатами измерения физической величины и значением оператора (т. е. решением математических задач)
Пусть - значение физической величины , которое получено в результате измерения системы, находящейся в i-том квантовом состоянии.
является одним из собственных значений оператора . Это задача на собственные функции и собственные значения. Задача определяет собственные значения , соответствующие и определяет собственные функции , соответствующие собственным значениям . Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре. Если собственные значения образуют непрерывное множество, то спектр непрерывный.
Определение среднего значения физической величины
Здесь введено понятие скалярного произведения для функций из гильбертова пространства. Гильбертово пространство – это пространство квадратично интегрируемых функций (нормируемых функций). Если - квадратично интегрируемые функции, тогда:
Это определение для - декартовых переменных. Для перехода к другой системе координат вводится якобиан перехода. Значок «*» означает комплексное сопряжение.
Это аналог длины в векторном пространстве.