Переменные и параметры

Перед составлением системы модельных уравнений следует тщательно описать входящие в их состав численные показатели. Все количественные характеристики модели делятся на переменные величины и константы (параметры).

Переменные характеризуют среду, окружающую изучаемую систему, изменчивое состояние самой системы в целом и ее элементов в частности. В терминах блок-схемы переменные – это потоки, количественное проявление способа существования статических компонентов системы (см. раздел Идеология моделирования). Отдельный элемент может быть описан несколькими переменными. Поэтому говорят о разных языках описания системы: каждый язык относится к одному виду потоков данного уровня иерархии. Потоки преобразуются в процессе функционирования системы: либо изменяют свою величину, либо трансформируются в другие потоки.

Параметры количественно выражают режимы (скорость, интенсивность) преобразования потоков (изменения значений переменных). В отличие от переменных величин параметры обычно задаются неизменными, во всех модельных расчетах они остаются независимыми от состояния системы (другое дело, когда они изменяются, “оптимизируются”, в процессе настройки модели).

Установление состава изучаемых признаков – это первый шаг в их описании (Методы…, 1980, с. 58). Чем больше привлекается переменных, тем ближе к оригиналу будет протекать “жизнь” модели, напротив, чем меньше переменных, тем проще оказывается объяснить причинно-следственные связи между элементами системы, и тем легче будет настроить модель. Противоречие “простота – полнота” модели (Перегудов, Тарасенко, 1989, с. 281) заставляет на разных этапах стремиться к оптимальной конструкции. Во-первых, на стадии составления блок-схемы соображения о существе биологического процесса позволяют отобрать переменные, исходя из иерархической композиции объекта (Безель, 1987, с. 23). Во-вторых, в процессе настройки модели приходится улучшать модель путем добавления или исключения переменных с контролем ее адекватности системе-оригиналу (Дженнрич, 1986, с. 78). Формальным методом для этого служит оценка статистической значимости параметров, которая позволяет достаточно обоснованно изменять их состав. В арсенал эффективных приемов исправления модели входят агрегация переменных (Акоф, Сасиени, 1971, с. 105), декомпозиция исходных переменных на две или более составляющих, конструирование скрытых переменных (Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 53). При организации матрицы исходных данных важно следить за тем, чтобы число строк (объектов наблюдения, шагов динамики) было минимум в два раза больше числа столбцов (признаков, контролируемых явных переменных).

Природа переменных

На втором шаге выясняется происхождение и тип изучаемых величин (Акоф, Сасиени, 1971, с. 104). Измеренные в разных шкалах (номинативной, порядковой, интервальной) признаки могут быть дискретными (класс, ранг, балл) или непрерывными (шкалы отношений и абсолютные шкалы). В целях упрощения описания модели часть непрерывных переменных зачастую переводят в дискретную форму. Так, преобразование плавной периодической функции в форму дискретной (прямоугольной) функции во многом упрощает анализ динамики процесса, почти не снижая его точности (Мерсер, 1964, с. 148). Гладкую кривую нормального распределения непрерывного признака переводят для упрощения расчетов в дискретную форму, основанную на интервальной шкале (Ивантер, Коросов, 1992, с. 21–22). В других случаях возникает задача преобразования переменных. Многие химические, биохимические и физиологические показатели имеют логнормальное распределение (Израэль и др., 1985, с. 10; Безель, 1987, с. 26). Логарифмирование этих значений дает нормальное распределение, что более удобно для статистического анализа.

Определение состава выборок

Третий шаг – это формирование массивов исходной информации (совокупности вариант, множества объектов, серия шагов). Эти данные количественно выражают состояние изучаемой системы в разные моменты времени, в разных точках пространства, при разных внешних воздействиях. Состав выборки, следовательно, отражает те направления изменчивости, с учетом которых должны строиться и модель взаимоотношений между переменными, и интерпретация результатов моделирования. В массивах биологических данных отчетливо выделяются несколько общих направлений изменчивости, вызывающих корреляцию между признаками (Мина, 1975, с. 177; Мина, Клевезаль, 1976, с. 10–12; Коросов, 1996, с. 11–17):

• множество значений характеризует одну особь (объект) в разные моменты ее жизни, в разных состояниях (индивидуальная, онтогенетическая или временная, аллометрическая динамика),

• множество значений характеризует индивидуальные особенности особей одного возраста (статуса) (внутригрупповая, аллометрическая изменчивость),

• множество значений характеризует особей разного возраста (межгрупповая или “групповая онтогенетическая” изменчивость, динамика),

• множество значений характеризует отличия особей из разных популяций (межпопуляционная, географическая или пространственная изменчивость),

• множество значений характеризует отличия особей из серии выборок, испытывающих действие разных доз внешнего фактора (факториальная изменчивость).

Исследование природы переменных создает основу для последующих этапов моделирования в виде двух таблиц: в одной представлена характеристика всех переменных, в другой – исходная матрица (таблица) реальных значений переменных, полученных в природе или эксперименте. Структура будущей модели во многом предопределяется структурой матрицы эмпирических данных.

Типы переменных

Не все модельные переменные играют одинаковую роль в построении модели. Обычно указывают на три функционально различных группы (Акоф, Сасиени, 1971, с. 81; Суходольский, 1972, с. 373; Славин, 1989, с. 43–44; Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 53–54; Боровиков, Боровиков, 1997, с. 530):

— независимые (управляющие, движущие, вынуждающие, экзогенные);

— зависимые (управляемые, состояния, местоположения, эндогенные);

— скрытые переменные (неизвестные, внутренние, фиктивные, латентные).

В этой классификации нет четкой грани между исходными переменными (наборами значений, полученных в природе) и модельными переменными (наборами значений, вычисляемых в процессе моделирования). К тому же более удобно, на наш взгляд, представление типов переменных в форме дихотомического дендрита (Угольницкий, 1999, с. 18). Модифицированная типология переменных в рамках имитационной модели выглядит следующим образом (рис. 2.4).

Н аблюдения поставляют ряды чисел – реальные (внешние, исходные, эмпирические, наблюдаемые, неуправляемые) переменные. По отношению к объекту исследования некоторые переменные, характеризующие среду, будут независимыми (например, суточная динамика температуры), другие, характеризующие состояние объекта, фактически, причинно оказываются зависимыми от первых (например, уровень метаболизма животных). Значения внешних переменных в пределах имитационной системы никак не изменяются, они характеризуют состояние среды, влияющей на объект исследования, и состояние этого объекта. Эти значения получены эмпирическим путем и известны еще до начала моделирования (хотя обычно модель требует проведения дополнительных исследований). Из них формируется матрица эмпирических данных.

В рамках имитационной системы независимые реальные переменные служат основой для расчета зависимых модельных переменных. Зависимые реальные переменные служат основой для настройки параметров модели, а также для оценки близости модели к прототипу.

Уравнениями имитационной модели вычисляются другие ряды чисел – модельные (внутренние, расчетные, управляемые) переменные; при этом используются значения реальных независимых переменных, а также значения других модельных переменных. Если каждой из них в действительности соответствует реальная зависимая переменная, количественные наблюдения, то эти модельные переменные следует назвать явными. Они используются для настройки параметров модели и для проверки ее адекватности.

Помимо названных, имитационные модели содержат скрытые переменные (скрытые модельные переменные). Такое название появилось потому, что эти характеристики не регистрируются в природе и в силу этого в рамках модели скрыты от прямого контроля со стороны реальных данных. Для них не существует аналогов в рядах натурных наблюдений из-за невозможности, сложности или высокой стоимости сбора данных (хотя предполагается, что такой характеристикой природный объект обладает). Смысл введения этих гипотетических переменных состоит в попытке оценить значения тех экологических факторов или внутренних функций биосистем, которые трудно изучить непосредственно. Эти переменные играют важнейшую роль в моделировании, поскольку выступают заместителями неизвестной реальности, служат способом анализа природных явлений, дают возможность глубже проникнуть в структуру исследуемой системы. Латентные переменные всегда оказываются вычисляемыми, т. е. формально зависимыми. Однако чаще всего интересен как раз тот случай, когда оцениваются значения переменной, внешней по отношению к изучаемому объекту, определяются уровни неизвестного фактора среды, т. е. значения, по существу, независимой переменной.

Наряду с важной гносеологической функцией, использование скрытых переменных таит большую опасность заблуждения. Дело в том, что ввод большого числа бесконтрольных компонентов модели приводит к ее полной (псевдо-) адекватности исходным данным, поскольку при неправильной организации модели внутренние переменные могут забирать на себя всю необъясненную изменчивость (см. раздел Скрытые переменные).

Описание параметров

Блок-схема, предопределяющая структуру модельных переменных, диктует и список модельных параметров. Определиться с составом параметров необходимо в первом приближении еще перед построением модельных формул, выполняя главное правило моделирования (см. следующий раздел). Модельные параметры сосредотачивают на себе весь смысл построения модели, это квинтэссенция теоретических представлений о динамике реальной системы, главная характеристика способа ее существования. Поэтому формирование блока параметров – самый ответственный этап в моделировании. Число параметров обычно меняется в процессе создания формул и при доводке модели до уровня приемлемой адекватности, однако общие ориентиры следует наметить заранее.

Кроме теоретических соображений о структуре реальной системы росту сложности модели препятствует ряд формальных ограничений. Вообще, чем больше уравнений и параметров представляют систему, тем более точной, “портретной”, оказывается модель (Розенберг, 1984, с. 30, 95; Перегудов, Тарасенко, 1989, с. 281–282). Однако общее пожелание формулируется так: “поменьше параметров”. Во-первых, не может быть эффективной настройка модели, содержащей более 10 параметров; в этом случае увеличивается количество разных решений одной и той же системы уравнений, а методов формального выбора лучшего решения не существует (Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 56). Кроме того, для обеспечения достаточной точности имитации (ошибка прогноза менее 100%) в среднем каждое уравнение должно содержать менее 4-х параметров (Федоров, 1983, с. 21). Эти ограничения не означают, что модель должна быть “маленькой”, т. е. должна описывать ограниченное число переменных. Если каждый из модельных коэффициентов контролирует аналогичные процессы, происходящие в разных точках пространства с разными объектами или в разные моменты времени, то число переменных может достигать десятков и сотен. В частности, всего 4 параметров было достаточно для имитации динамики загрязнения в 16- камерной модели крупного водоема и лишь ограниченное число точек отбора проб в этом случае помешало увеличить число камер до нескольких десятков, причем без увеличения числа параметров (см. раздел Скрытые переменные).

Если система-оригинал имеет сложную структуру, то проблему включения многих параметров обходят, используя блочный принцип составления модели. Всю систему разбивают на относительно независимые блоки, состоящие из небольшого числа уравнений, отдельно настраивают параметры, а затем связывают в общую модель, часто через интерфейсные (внешние) переменные (Левченко, 1993, с. 311; Иванищев и др., 1989, с. 53–55). Пример такого синтеза показан в разделе Сети связей.

Еще один эффективный подход к описанию сложных систем состоит в том, чтобы последовательно строить преемственный ряд все более сложных моделей до момента удовлетворительного описания реальной системы (Галицкий, 1981, с. 104). При первоначально кажущейся большой сложности объект удается смоделировать, затратив меньшие усилия. Этот способ характерен для большинства представленных примеров.

Вообще говоря, чрезмерное количество параметров свидетельствует, скорее всего, о плохо продуманной структуре модели, слабо структурированной блок-схеме и смешении элементов разного уровня иерархии.

Помимо сказанного следует учитывать ограничение, связанное с неполнотой исследования, с обычным для экологии невысоким качеством натурных наблюдений (речь идет о “невоспроизводимости” наблюдений, а не о небрежности экологов). С одной стороны, значения параметров и строение модели подгоняются под выборочные данные, которые, понятно, есть лишь тень исследуемого объекта, но не он сам (Прицкер, 1987, с. 18), тогда как модель должна копировать не просто выборку, но объект исследования. С другой стороны, выборочные данные могут быть настолько фрагментарны, неполны, “загрязнены” стохастическим шумом, что настройка системы уравнений становится неразрешимой задачей (Страшкраба, Гнаук, 1989, с. 56). Тем не менее лучше построить неказистую модель, в попытке активизировать дополнительные размышления о своем объекте исследования, нежели пренебречь этой возможностью под гнетом тяжелого впечатления от неточных описаний: “атмосфера взаимосвязей” изученных показателей не менее информативна, чем конкретные числа!