1.Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул эквивалентности ставок на основе равенства множителей наращения.

Эквивалентные ставки применяются в маркетинговой деят-ти банка.

Эквивалентными называются ставки различного вида,которые приносят одинаковые рез-ты в однотипных операциях

iпр; iсл; d; j.

S1=S2 или I1=I2

Однотипыне n1=n2; Р1=Р2

Эквивалентные ставки – это ставки разного вида, которые в однотипных операциях приводят к одинаковому результату. Замена в договоре одной ставки на эквивалентную ей не приводит к изменению результатов оп-ции. В качестве результатов можно рассматривать наращенную сумму, сумму % или множитель наращения. Формулы для эквивалентных ставок получают из уравнения эквивалентности в котором приравнивают результаты оп-ций:

1.эквивалентность простой ставки и простой учетной ставки.

S *n*d=P*iпр*n *P*n

P/(1-n*d) * nd=P*iпр*n

d/(1-n*d)=iпр

d=iпр/(1+n*iпр)

2.Эквивалентность простой и сложной ставки

iпр ic ; n1=n2 и P1=P2

S1=P(1+n*iпр)

S2=P(1+ic)

Составим уравнение эквивалентности:

S1=S2

P(1+n*iпр)=P(1+ic)

1)iпр=?

1+n*iпр=(1+ic)

iпр=((1+ic) -1)/n

2)ic=?

(1+n*iпр)=(1+ic)

Переходим к иррациональному выражению

Иррациональное выражение равносильно предыдущему,т.к.рассматривается в 1 четверти осей координат.

= 1+ic

ic= -1

3.эквивалентность сложных и номинальных ставок.

ic j, если n1=n2; P1=P2.

P(1+ic) =P(1+j/m)

1)ic=?

(1+ic) =(1+j/m)

=

1+ic=(1+j/m)

ic=(1+j/m) -1

2)j=?

(1+ic) =(1+j/m)

=

1+j/m=

j=m[ ]

2. Сущность начисления сложных процентов. Формула сложных процентов. Дисконтирование по формуле сложных процентов.

Ставка называется сложной, если процентные деньги каждый период начисления определяются из суммы основного долга вместе с уже начисленными в предыдущие периоды проценты.

Вывод формулы наращения по сложной ставке процентов.

S=P*Кн

ic-годовая ставка сложных %,которые начисляются раз в году

n=1 S1=P(1+1*i)=P(1+i)

n=2 S2=S1(1+1*i)=P(1+i)

n=3 S3=S2(1+1*i)=P(1+i)

n=Sn=S (1+1*i)

S=P(1+i)

Коэффициент наращения по сложной ставке и методы его определения.

S=P(1+ic)

Кн=S/P

Кн=(1+ic) - коэффициент наращения по сложной ставке.

Если срок не является целым числом лет:

1)Кн=(1+ic) =(1+0,12) =1,665256364 раза – приближенный

2)n=4года+0,5=nальфа+nбетта

Кн=(1+ic) *(1+ic*nбетта)

Начисление % по сложной ставке несколько раз в году.

j-номинальная ставка (годовая ставка сложных %ов, когда %ы начисляются несколько раз в году)

m-кол-во начисления %-ов в одном году.

Ежемесячно m=12 hfp

Ежеквартально m=4 раза

По полугодиям m=2 раза

j=iпериод*m, следовательно, iпер.=j/m –ставка за период начисления

S=P(1+j/m)

Определение срока операции и размера сложной ставки процентов.

S=P(1+ic)

Воспользуемся основным св-вом логарифма:

а)S/P=(1+ic)

lgS/p=n*lg(1+ic)

n=lg(S/p)/lg(1+ic)

б) S/P=(1+ic)

Переходим к иррациональному выражению (т.к.операции происходят в первой части осей координат, то переход равносильный)

=

1+ic=

ic= -1 – доходность каждой долгосрочной операции

iпр=(S-P)/(P*n) – доходность для краткосрочных операций.

Наращение и дисконтирование по сложной ставке.

При начислении сложных процентов с помощью наращения находят наращенную сумму, а с помощью дисконтирования первоначальную сумму долга:

S = P +I = P + P (1+i) ⁿ -1 =P (1+(1+i) ⁿ -1) = P (1+i) ⁿ

Формула наращения по сложной ставке: S= P (1+i) ⁿ ,

где (1+i) ⁿ - множитель наращения по сложной ставке, показывает во сколько раз

наращенная сумма S больше первоначальная сумма долга P.

Формула дисконтирования по сложной ставке: P = , где - дисконтный множитель по сложной ставке, показывает во сколько раз

первоначальная сумма долга P меньше наращенной суммы S.

Если срок долга дробное число, множитель наращения рассчитывают по смешенной схеме, когда за целую часть срока начисляют сложные проценты, а за дробную – простые:

, где - целая часть числа n,

- дробная часть

Из формулы наращения выводят формулы для ставки и срока:

S= P (1+i) ⁿ

(1+i) ⁿ = S/ P

1) размер сложной ставки:

2) срок долга: , где а - любое число.

3. В пенсионный фонд каждые полгода вносится сумма 8000 рублей, на которые один раз в квартал начисляются проценты по номинальной ставке 12% годовых. Рассчитайте сумму, накопленную в фонде через 8 лет, и сумму начисленных процентов.

Билет 27.

1.Понятие эквивалентности процентных ставок. Средняя процентная ставка.

Эквивалентные ставки применяются в маркетинговой деят-ти банка.

Эквивалентными называются ставки различного вида,которые приносят одинаковые рез-ты в однотипных операциях

iпр; iсл; d; j.

S1=S2 или I1=I2

Однотипыне n1=n2; Р1=Р2

Эквивалентные ставки – это ставки разного вида, которые в однотипных операциях приводят к одинаковому результату. Замена в договоре одной ставки на эквивалентную ей не приводит к изменению результатов оп-ции. В качестве результатов можно рассматривать наращенную сумму, сумму % или множитель наращения. Формулы для эквивалентных ставок получают из уравнения эквивалентности в котором приравнивают результаты оп-ций:

Доходность нескольких однотипных оп-ций рассчитывается в виде средней ставки – это эквивалентная ставка простых %, которая дает тот же результат, что и исходные ставки. В качестве результата удобно брать сумму %:

P1*i1*n1+P2*i2*n2+..=P1*iср*n1+P2*iср*n2+..

P1*i1*n1+P2*i2*n2+..=iср(P1*n1+ P2*n2+…)

iср= P1*i1*n1+P2*i2*n2+.., где

P1*n1+ P2*n2+…

iср – средняя ставка

i1, i2,…- исходные ставки

n1, n2,…- сроки действия ставок

P1, P2… - первонач. сумма долга

Получили формулу средней арифмет. взвешенной: х=хff, где f=P*n

iср=P*i*n/P*n

Средняя ставка:

, где P – первонач. Сумма оп-ции, i – ставки процентов по оп-циям, n – сроки оп-ций