- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
1) Оценки для оценки математического ожидания.
– состоятельная несмещенная оценка, (1)
она совпала с выборочным средним, т.е. .
Замечание. Если задан статистический ряд, то . (2)
2) Оценки для дисперсии.
Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия (3)
Состоятельной и несмещенной оценкой служит исправленная дисперсия: (4)
, где S – выборочное средне квадратическое отклонение. (5)
Замечание. Если задан статистический ряд, то смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия , (6)
несмещенной состоятельной оценкой: . (7)
Замечание. Во избежание громоздких вычислений по формулам (1) – (7) на практике иногда целесообразнее вместо них использовать формулы:
, (8)
Число а находим подбором, исходя из условий задачи.
Примеры.
Пример 1. Проведено 5 измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины в мм: 4, 5, 8, 9, 11. Найти несмещенную оценку математического ожидания.
Решение.
n = 5. Данная оценка находится по формуле (1): .
Пример 2. В результате измерения некоторой случайной величины (без систематических ошибок) получены следующие результаты в мм: 11, 13, 15. Найти несмещенную оценку дисперсии.
Решение.
n = 3. Данная оценка находится по формуле (4). Чтобы ею воспользоваться, необходимо сначала найти оценку математического ожидания по формуле (1):
Тогда .
Пример 3. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. Результаты измерений представлены в виде таблицы значений:
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
xi, в |
222 |
219 |
224 |
220 |
218 |
217 |
221 |
Найти оценки для математического ожидания (среднего) и дисперсии результатов измерений.
Решение.
1) n = 7. Оценка среднего находится по формуле (1): , т.е. в среднем в сети было напряжение вольт.
2) Эту же оценку найдем по первой из формул (8), положив а = 220.
.
3) Оценка дисперсии находится по формуле (4):
Если в результате проведенных n независимых неравноточных измерений случайной величины Х получены ее приближенные значения х1, х2,…, хn , дисперсии которых соответственно равны , то для определения приближенного значения математического ожидания следует пользоваться оценкой, которая является несмещенной, состоятельной и эффективной, а именно:
, где вес i – го измерения. (9)
Пример. Проводились измерения специальной меры длины. Результаты измерений приведены в таблице. Известно, что дисперсии погрешностей измерений по приборам имели следующие значения: . Оценить отклонение действительного размера меры от номинального ее размера.
№ измерения |
Отклонение от номинального размера, мк. |
|||
Прибор № 1 |
Прибор № 2 |
Прибор № 3 |
Прибор № 4 |
|
1 |
10,3 |
10,8 |
9,9 |
11,3 |
2 |
10,5 |
11,2 |
10,6 |
11,1 |
3 |
– |
10,7 |
– |
10,4 |
Сумма |
20,8 |
32,7 |
20,5 |
32,8 |