- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
П. 3. Эмпирическая функция распределения
Пусть х1, х2,…, хn – выборка из генеральной совокупности с функцией распределения . Статистический ряд – первичная форма записи статистического материала. Он может быть обработан различными способами, например, с помощью статистической или эмпирической ( т.е. выборочной) функции распределения . Вероятность Р стремится к частоте.
Определение 8. Распределением выборки называется распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х1, х2,…, хn с вероятностями , а соответствующая функция распределения называется эмпирической функцией распределения.
Определение 9. Эмпирической (или статистической) функцией распределения случайной величины Х называется закон изменения частоты события в данном статистическом материале:
определяется по значениям накопленных относительных частот соотношением
(т.е. суммируются частоты тех элементов, для которых выполняется неравенство ).
Свойства .
1. при , где – первый элемент вариационного ряда.
2. при , где – последний элемент вариационного ряда.
3. – неубывающая кусочная постоянная функция на промежутке
Аналогично определяется эмпирическая функция распределения для группированной выборки.
Теорема Гливенко. Пусть – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема n из генеральной совокупности с функцией распределения . Тогда для любого и любого положительного следует, что
.
Т.е. и сходятся по вероятности, следовательно, при большом n, может служить приближенным значением (оценкой) функции распределения генер. совокупности в каждой точке х.
Пример 6. Построить график эмпирической функции распределения выборки из примера 4 и группированной выборки из примера № 5.
Решение.
1). Рассмотрим статистический ряд:
zi |
-15 |
-12 |
-8 |
-6 |
-5 |
-4 |
-2 |
3 |
5 |
10 |
12 |
14 |
15 |
16 |
18 |
20 |
ni |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
x ≤ –15
–15 < x ≤ –12 (– 15 наблюдается 1 раз, n = 20 и его частота равна )
–12 < x ≤ –8 (– 15 наблюдается 1 раз, – 12 также 1 раз, их частоты )
–8 < x ≤ –6 –6 < x ≤ –5
–5 < x ≤ –4 –4 < x ≤ –2
–2 < x ≤ 3 3 < x ≤ 5
5 < x ≤ 10 10 < x ≤ 12
12 < x ≤ 14 14 < x ≤ 15
15 < x ≤ 16 16 < x ≤ 18
18 < x ≤ 20 x > 20
2) Рассмотрим таблицу частот.
Середина первого интервала z1 = –12,5, следовательно, строят по данным 3 – го и последнего столбцов.
x ≤ –12,5
–12,5 < x ≤ –7,5 –7,5 < x ≤ –2,5
–2,5 < x ≤ 2,5 2,5 < x ≤ 7,5
7,5 < x ≤ 12,5 12,5 < x ≤ 17,5
x > 17,5
Пример 7. Имеется выборка: –3; 2; –1; –3; 5; –3; 2. Построить график эмпирической функции распределения.