- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
Решение.
.
П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
При обработке опытных данных часто приходится решать задачу, в которой необходимо исследовать зависимость одной физической величины у от другой физической величины х. Например, исследование величины погрешности размера изделия от температуры, величины износа резца от времени и т.д.
П усть в результате опыта был получен ряд экспериментальных точек (х1, у1), (х2, у2),…, (хn, уn). Если построить примерный график зависимости переменной величины у от независимой переменной х, то ясно, что он не будет проходить через все полученные точки, но, по возможности, рядом с ними. По возможности, потому что производимые в ходе опыта измерения связаны с ошибками случайного характера, то и экспериментальные точки на графике обычно имеют некоторый разброс относительно общей закономерности. В силу случайности ошибок измерения этот разброс или уклонения точек от общей закономерности также являются случайными.
Задача сглаживания экспериментальной зависимости состоит в такой обработке экспериментальных данных, при которой по возможности точно была бы отражена тенденция зависимости у от х и возможно полнее исключено влияние случайных, незакономерных уклонений (1 и 2), связанных с погрешностями опыта.
Если вид зависимости у = f(x) до опыта известен из физических соображений, и на основании опытных данных требуется только определить некоторые ее параметры, чтобы зависимость сгладить, то обычно применяют «метод наименьших квадратов».
Итак, метод наименьших квадратов применяется для решения задач, связанных с обработкой результатов опыта, особенно важным его приложением является решение задачи сглаживания экспериментальной зависимости, т.е. изображения опытной функциональной зависимости аналитической формулой. При этом метод не решает вопроса о выборе общего вида аналитической функции, а дает возможность при заданном типе функции у = f(x)подобрать наиболее вероятные значения для параметров этой функции.
Сущность метода.
Пусть в результате опыта получены точки (х1, у1), (х2, у2),…, (хn, уn). Зависимость у от x , изображаемая аналитической функцией у = f(x) не может совпадать с экспериментальными значениями уi во всех n точках, т.е разность . Требуется подобрать параметры функции у = f(x) таким образом, чтобы сумма квадратов этих разностей была наименьшей. Таким образом, при методе наименьших квадратов приближение аналитической функции у = f(x) к экспериментальной зависимости считается наилучшим, если выполняется условие минимума суммы квадратов отклонений искомой аналитической функции от экспериментальной зависимости.
Чаще всего для изображения экспериментальной зависимости выбирается парабола у = аx2 + bх + с. Тогда . Дифференцируя эту функцию по неизвестным параметрам a, b, c и приравнивая производные к нулю, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b, c:
Решая систему с помощью методов Крамера или Гаусса, получим значение неизвестных параметров a, b, c, а значит, уравнение параболы.