- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
Решение.
Объем выборки n = 20.
Размах выборки ω =20 – (–15) = 35.
Рассмотрим k = 7 интервалов длины b = 35:7 = 5. Разобьем интервал , содержащий все элементы выборки на 7 интервалов длины 5.
№группы i |
Границы группы |
Число ошибок в группе – частота ni |
Относительная частота |
1 |
(–15 ) – (–10) |
2 |
|
2 |
(–10) – (–5) |
3 |
|
3 |
(–5) – 0 |
3 |
0,15 |
4 |
0 – 5 |
1 |
0,05 |
5 |
5 – 10 |
1 |
0,05 |
6 |
10 – 15 |
4 |
0,2 |
7 |
15 – 20 |
6 |
0,3 |
Контроль:
Замечание 1. При большом объеме выборки ее элементы объединяют в группы, представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда (расширенное понятие статистической совокупности, иногда совокупность так и называют).
Для этого, как и ранее, интервал, содержащий все элементы выборки, разбивают на k непересекающихся интервалов обычно одинаковой длины b и определяют частоты , при этом правило, сформулированное выше, справедливо. Получающийся статистический ряд в верхней строке содержит середины интервалов группировки, а в нижней –частоты ,
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
Если подсчитываются также накопленные частоты , относительные частоты и накопленные относительные частоты , при чем, , (если рассматривается сумма всех частот), то полученные результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей частот группированной выборки.
№ интервала
i |
Границы интервалов |
Середина интервала
zi |
Частота
ni |
Накопленная частота
|
Относительная частота
|
Накопленная относительная частота |
1 |
(–a) – (–b) |
|
… |
… |
… |
… |
Замечание 2. Группировка выборки вносит погрешность в дальнейшие вычисления, которая растет с уменьшением числа интервалов.
Замечание 3. Если в задаче важны только частоты, то иногда записывают выборку с помощью накопленных частот, т.е. в виде:
= а1, а2,…, аn – точки разбиения интервала.
Пример 5. Представить выборку из примера № 4 в виде таблицы частот группированной выборки.
Решение.
Сначала запишем выборку в виде статистического ряда для удобства:
Статистический ряд:
zi |
-15 |
-12 |
-8 |
-6 |
-5 |
-4 |
-2 |
3 |
5 |
10 |
12 |
14 |
15 |
16 |
18 |
20 |
ni |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
Объем выборки n = 20, размах ω = 35. Рассмотрим k = 7 интервалов длины b = 5.
Таблица частот группированной выборки имеет вид:
№ интервала
i |
Границы интервалов |
Середина интервала zi |
Частота
ni |
Накоплен- ная частота
|
Относитель- ная частота
|
Накопленная относительная частота
|
1 |
(–15 ) – (–10) |
–12,5 |
2 |
2 |
|
0,1 |
2 |
(–10) – (–5) |
–7,5 |
3 |
5 |
|
0,25 |
3 |
(–5) – 0 |
–2,5 |
3 |
8 |
0,15 |
0,4 |
4 |
0 –5 |
2,5 |
1 |
9 |
0,05 |
0,45 |
5 |
5 – 10 |
7,5 |
1 |
10 |
0,05 |
0,5 |
6 |
10 – 15 |
12,5 |
4 |
14 |
0,2 |
0,7 |
7 |
15 – 20 |
17,5 |
6 |
20 |
0,3 |
1 |
Контроль: , .