- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
Глава 13. Математическая статистика
Определение. Математической статистикой называется наука, занимающаяся разработкой методов получения, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей случайных массовых явлений.
Одна из основных прикладных задач мат. статистики – определение методов обработки опытных данных.
Типичные задачи математической статистики:
1. Оценка на основании результатов измерений неизвестной функции распределения.
Постановка задачи: в результате независимых испытаний над случайной величиной Х получены следующие ее значения х1, х2,…, хn. Требуется приближенно оценить неизвестную функцию распределения F(x).
2. Оценка неизвестных параметров распределения.
Постановка задачи: пусть случайная величина Х имеет функцию распределения F(x) определенного вида, зависящую от k неизвестных параметров. Требуется на основании опытных данных оценить значения этих параметров.
3. Статистическая проверка гипотез.
Постановка задачи: пусть на основании некоторых соображений можно считать, что функция распределения Х есть F(x). Ставятся вопросы: совместимы ли наблюдаемые значения с гипотезой, что Х действительно имеет распределение F(x), не опровергают ли опытные данные гипотезу, что параметры F(x) имеют предположенные значения.
П. 1. Генеральная совокупность и выборка
Пусть требуется исследовать какой-нибудь признак, свойственный большой группе (N штук) однотипных элементов, например, вес N изделий, размеры N деталей и т.п.
Определение 1. Совокупность значений признака всех N элементов данного типа, где N велико, т.е. , называется генеральной совокупностью.
Если совокупность содержит очень большое число элементов, то провести сплошное ее обследование физически невозможно, а иногда и практически не имеет смысла (обследование связано с уничтожением предметов, например, проверка электроники на длительность работы). В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число элементов и подвергают их изучению.
Определение 2. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных элементов из генеральной совокупности.
Определение 3. Объемом выборки называется количество элементов выборки – .
Выборочный метод заключается в том, что из генеральной совокупности берется выборка объема n ( ), и определяются характеристики выборки, которые принимаются в качестве приближенных значений соответствующих характеристик всей генеральной совокупности. То есть на основании изучения характеристик выборки делают вывод о всей генеральной совокупности. Естественно, что при этом результаты обследований, составляющие выбору, должны быть независимыми.
При выборочное распределение приближается к генеральному.
Этапы обработки выборки: 1. составление вариационного ряда. 2. составление эмпирического закона распределения. 3. поиск параметров, от которых зависит закон распределения.
П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
Пусть изучается случайная величина Х, закон распределения которой неизвестен. Сделана выборка , над которой производится ряд опытов, результаты которых могут быть записаны в виде рядов – вариационного и статистического.
Определение 3. Вариационным рядом выборки х1, х2,…, хn называется упорядоченная последовательность различных значений из выборки, расположенных в порядке возрастания:
, где .
, где – порядок элемента по возрастанию.
Определение 4. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки.
Пример 1. Записать в виде вариационного ряда выборку 4, 2, 6, 9, 4, 4, 1, 9, 6, 1, 6, 6, 3, 1, 3 и определить ее объем и размах.