- •Глава 13. Математическая статистика
- •П. 1. Генеральная совокупность и выборка
- •П. 2. Вариационный и статистический ряды. Группированный статистический ряд
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Эмпирическая функция распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 3. Гистограмма и полигон частот
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 5. Точечные оценки и их свойства
- •Свойства статистики.
- •1) Оценки для оценки математического ожидания.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 6. Методы статистического оценивания
- •Решение.
- •Решение.
- •П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Решение.
- •Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •П. 8. Корреляция
- •Решение.
- •П. 9. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов
- •П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия
Решение.
Искомой величиной является вероятность р того, что наугад выбранное изделие окажется бракованным. Вероятность р считается постоянной величиной, не зависящей от результатов проверки других изделий. Для отыскания величины р из готовой продукции случайным образом отбирается n изделий и проверяется их качество. Вероятность р можно рассматривать как параметр а, входящий в распределение дискретной двузначной величины Х, принимающей только два значения х1 = 1, х2 = 0 в зависимости от того, каким окажется наугад выбранное изделие: бракованным или хорошего качества.
Пусть среди наугад выбранных изделий оказалось m бракованных, тогда согласно определению (27) имеем, что
, тогда уравнение (10) запишется в виде:
.
,
Следовательно, оценка вероятности р по методу наибольшего правдоподобия совпадает с частотой события появления бракованных изделий.
П. 7. Доверительный интервал и доверительная вероятность
В ряде задач требуется не только найти для параметра а подходящее числовое значение, но и оценить его точность и надежность. (Особенно при малом числе наблюдений). Точечная оценка в значительной мере является случайной, и приближенная замена а на может привести к серьезным ошибкам.
Для определения точности оценки пользуются доверительными интервалами, а для определения надежности – доверительными вероятностями.
Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка . Требуется оценить возможную при этом ошибку. Зададим некоторую вероятность β и найдем значение , для которого справедливо равенство:
, (*)
т.е. , следовательно, неизвестное значение параметра а с вероятностью β попадет в интервал
, (11)
точнее, что случайный интервал накроет точку .
Определение 28. Интервал называется доверительным интервалом. Вероятность β называется доверительной вероятностью или надежностью.
Задача. Построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности β для математического ожидания m величины Х.
Решение. Воспользуемся тем, что величина представляет собой сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин Xi , и, согласно центральной предельной теореме при достаточно большом n ее закон распределения близок к нормальному. То есть будем исходить из того, что величина распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона – математическое ожидание и дисперсия, равные соответственно m и . Найдем величину , для которой справедливо равенство (*):
, отсюда Ф-1 .
(рассматривается функция Лапласа вида ).
Дисперсия D, через которую выражена величина , в точности не известна. В качестве ее ориентировочного значения можно воспользоваться оценкой .
Вывод: доверительный интервал для математического ожидания приближенно равен:
, (12)
где Ф-1 , . (13)
для функции Лапласа вида .
Замечание 1. На практике полезно свойство: если Ф-1(β) = х, то Ф(х)=β.
Замечание 2. а) Для функции Лапласа вида значение Ф-1 .
б) Для функции Лапласа вида значение Ф-1 .
Если удастся получить ориентировочное значение , равное , то, аналогично тому, как был построен доверительный интервал для математического ожидания, можно построить доверительный интервал для дисперсии: , где Ф-1 (рассматривается функция Лапласа вида ).
Пример. В примере 3 пункта 5 построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности β = 0,86.