Решение.

Всего 10 результатов измерений, т .е. n = 10. Найдем вес каждого измерения.

№1: , № 2: , № 3: ,

№ 4: . Тогда .

Найдем оценку математического ожидания по формуле (9):

.

П. 6. Методы статистического оценивания

1 метод для нахождения оценок параметров по данным опыта – метод подстановки или аналогии – простейший метод статистического оценивания. Он состоит в том, что в качестве оценки той или иной числовой характеристики (среднего, дисперсии и др.) генеральной совокупности берут соответствующую характеристику распределения выборки, т.е. выборочную характеристику. (См. выше).

Пример. Пусть х₁, х₂,…, х_n – выборка из генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием m и дисперсией D. Используя метод подстановки, найти оценку m. Проверить несмещенность и состоятельность полученной оценки.

Решение.

В качестве оценки математического ожидания m надо взять математическое ожидание распределения выборки, т.е. выборочное среднее : .

Проверим несмещенность и состоятельность полученной оценки. Для этого рассмотрим эту статистику как функцию выборочного вектора: . По определению (23) проверим несмещенность оценки:

. Действительно, –несмещенная оценка математического ожидания m генеральной совокупности..

По определению (24) проверим состоятельность оценки:

,

, следовательно, – состоятельная оценка математического ожидания m генеральной совокупности.

2 метод для нахождения оценок параметров по данным опыта – метод наибольшего (или максимального) правдоподобия.

1) Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения , зависящей от неизвестного параметра а, значение которого требуется оценить по выборке объема n. Плотность распределения выборочного вектора можно записать в виде

.

Пусть х₁, х₂,…, х_n – выборка наблюдений случайной величины Х, по которой находится оценка неизвестного параметра.

Определение 26. Функцией правдоподобия выборки объема n называется плотность выборочного вектора, рассматриваемая при фиксированных значениях переменных х₁, х₂,…, х_n:

Функция – функция только одного неизвестного параметра а.

2) Пусть Х – дискретная случайная величина, для которой вероятность – функция неизвестного параметра а. Пусть для оценки неизвестного параметра а получена

конкретная выборка наблюдений случайной величины Х объема n: х₁, х₂,…, х_n.

Определение 27. Функцией правдоподобия выборки объема n называется вероятность того, что компоненты дискретного выборочного вектора , примут фиксированные значения переменных х₁, х₂,…, х_n:

Сущность метода наибольшего правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки неизвестного параметра а принимается значение аргумента , которое обращает функцию в максимум. Такую оценку называют МП – оценкой или оценкой наибольшего правдоподобия.

(Для дискретного распределения Х МП-оценка неизвестного параметра а такое значение , при котором вероятность появления данной конкретной выборки максимальна; для непрерывного распределения – плотность максимальна).

Согласно известным правилам дифференциального исчисления, для нахождения максимума функции или, что то же самое, для нахождения оценки наибольшего правдоподобия необходимо решить уравнение:

(10)

и отобрать то значение а, которое обращает функцию L в максимум.

Для упрощения вычислений в некоторых случаях функцию правдоподобия заменяют ее логарифмом, т.е. используют логарифмическую функцию правдоподобия, и решают вместо уравнения (10) уравнение

.

В случае двух параметров а₁ и а₂ оценки их определяются из двух совместно решаемых уравнений

При выполнении некоторых условий МП-оценки асимптотически эффективны и асимптотически нормально распределены. Метод всегда приводит к состоятельным оценкам (хотя иногда и смещенным), имеющим наименьшую возможную дисперсию по сравнению с другими и наилучшим образом (в некотором смысле) использующим всю информацию о неизвестном параметре, содержащуюся в выборке.

На практике метод часто приводит к необходимости решать сложные системы уравнений.

Пример. Оценить качество продукции некоторого производства.