П. 5. Точечные оценки и их свойства

Пусть закон распределения случайной величины Х содержит неизвестный параметр а. Требуется на основании опытных данных найти подходящую оценку этого параметра, т.е. найти его приближенное значение.

Пусть х₁, х₂,…, х_n – наблюдаемые значения Х в результате n независимых опытов. Тогда, если оценка параметра а, то она является функцией величин х₁, х₂,…, х_n: .

Определение 21. Точечной оценкой неизвестного параметра а называют приближенное значение этого параметра, полученное при выборке. Оценки называются точечными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра.

Определение 22. Любую функцию элементов выборки называют статистикой.

Для того, чтобы имела практическую ценность, она должна обладать определенными свойствами. Чтобы выяснить, какие свойства должна иметь статистика для того, чтобы ее значения могли бы считаться хорошей в некотором смысле оценкой параметра а, ее рассматривают как функцию случайного вектора (Х₁, Х₂,…, Х_n), одной из реализаций которого является данная выборка х₁, х₂,…, х_n. Распределение статистики также зависит от параметра а. случайная величина, закон распределения которой зависит от закона распределения Х и от числа опытов n. Итак, статистика должна обладать следующими свойствами:

Свойства статистики.

1. Несмещенность оценки.

Определение 23. Смещенными называются оценки, математическое ожидание которых не равно оцениваемому параметру, т.е. . Несмещенными называются оценки, для которых справедливо: .

В качестве приближенного неизвестного параметра лучше брать несмещенную оценку для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Состоятельность оценки.

Определение 24. Оценка для параметра а называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании числа опытов: для любого положительного .

Т.е. состоятельность означает, что при отклонение оценки от истинного значения параметра а меньше заданного малого положительного числа .

Для выполнения равенства достаточно, чтобы , где – несмещенная оценка.

3. Эффективность оценки.

Определение 25. Оценка называется эффективной, если она обладает свойством: .

Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра.

Определить приближенное значение измеряемой величины Х – значит произвести оценку математического ожидания Х. При этом, если СВ Х – постоянная, то оценка для математического ожидания – приближенное значение истинного значения измеряемой величины; а если измеряемая величина Х – случайная , то оценка для математического ожидания – приближенное значение математического ожидания измеряемой случайной величины.

Необходимость получения по опытным данным приближенного значения дисперсии возникает в связи с определением характеристики точности прибора или характеристики рассеивания измеряемой случайной величины.

Измерения бывают равноточные, т.е. проводятся в одинаковых условиях, например, одним и тем же прибором, и неравноточные, т.е каждое измерение характеризуется своей величиной рассеивания.

Если в результате проведенных n независимых равноточных измерений случайной величины Х с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией получены ее приближенные значения х₁, х₂,…, х_n , то для определения приближенных значений математического ожидания и дисперсии пользуются следующими оценками: