П. 4. Числовые характеристики выборочного распределения

Пусть х₁, х₂,…, х_n – выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения или .

Определение 14. Выборочное распределение – распределение дискретной случайной величины Х, принимающей значения х₁, х₂,…, х_n с вероятностями, равными .

Определение 15. Выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками называются числовые характеристики выборочного распределения.

Они являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности.

Определение 16. Основные числовые характеристики – выборочное среднее ( – традиционное обозначение), выборочная дисперсия – , которые могут быть найдены по формулам:

Определение 17. Выборочной модой унимодального распределения называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

Определение 18. Выборочной медианой распределения называется число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число элементов.

Замечание.

Если объем выборки n – нечетное число: n = 2l + 1, то , т.е. является элементом вариационного ряда со средним номером.

Если объем выборки n –четное число: n = 2l, то .

Пример 14. Определить среднее, дисперсию, моду и медиану для выборки: 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4.

Решение.

Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. n = 8.

Выборочное среднее: .

Выборочная дисперсия:

Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1, следовательно, .

Так как объем выборки n = 8 –четное число .

Пример 15. Определить моду и медиану для выборки: 2, 8, 3, 5, 1, 5, 7, 5, 2.

Решение.

Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 7, 8.

Чаще всех в выборке встречается элемент 5, следовательно,

Объем выборки n = 9 – нечетное число, следовательно, медиана – элемент вариационного ряда со средним номером, т.е .

Замечания.

			…
			…

1. Если выборка представлена в виде статистического ряда

то выборочное среднее находится по формуле ,

выборочная дисперсия: ,

выборочная мода – элемент выборки z_i, встречающийся с наибольшей частотой n_i,

выборочная медиана – элемент со средним номером.

2. Если дана группированная выборка в виде статистической совокупности (k интервалов длины b)

Границы интервалов	(a1, a2]	(a2, a3]		(ak, ak+1]
частота	n1	n2		nk

где – середины интервалов, то формулы для вычисления выборочных значений аналогичны формулам замечания 1.

Определение 19. Выборочным начальным моментом порядка s называется выборочное математическое ожидание s – ой степени случайной величины Х:

Определение 20. Выборочным центральным моментом порядка s называется:

Замечание. При увеличении числа наблюдений, т.е. при , все статистические характеристики будут сходиться по вероятности к соответствующим числовым характеристикам случайной величины и при достаточном n могут быть приняты приближенно равными им.