Вопрос 8. Формирование портфеля ценных бумаг Марковица.
По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций.
В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.
Математическое ожидание дохода по i-й ценной бумаге (mi) рассчитывается следующим образом:
где Ri – возможный доход по i-й ценной бумаге, руб.;
Pij – вероятность получение дохода;
n – количество ценных бумаг.
Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:
Существует теорема об эффективном множестве ее можно объяснить так: инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности. Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.
Портфель - это совокупность финансовых активов, объединенных вместе для реализации целей инвестора, для максимизации прибыли и минимизации убытков.В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели, портфели без коротких позиций(без продаж), то есть портфель состоящий только из купленных акций. Отсюда первое ограничение, которое накладывается на портфель, это положительные доли всех ценных бумаг (хi).
(1)
Второе ограничение состоит в том, что сумма всех долей ценных бумаг должна составлять 1, это правило нормировки долей. Формула 2 показывает это ограничение.
(2)
Так же доходность портфеля будет выглядеть как сумма доходностей отдельных акций с выбранными весовыми коэффициентами. Так как каждый инвестор пытается максимизировать получаемую доходность, то необходимо будет максимизировать эту целевую функцию. В итоге это будет выглядеть в виде формулы 3.
(3)
Помимо доходности инвестору необходимо так же учесть и риск, связанный с той или иной акцией. Риск по Г. Марковицу выражается в виде среднеквадратического отклонения δi каждой акции. Значение δр - это уровень приемлемого риска для инвестора. Помимо учета средне квадратического отклонения отдельных акций необходимо учесть корреляцию между доходностями акций - rij . Корреляция в нашем случае для модели Марковица равняется нулю. В итоге риск всего портфеля представлен формулой 4.
(4)
Экономико-математическая модель задачи формирования оптимального портфеля акций максимальной эффективности при которой риск портфеля не превышает заданного значения δр , и при учете всех ограничений на портфель, примет следующий вид (5):
Вопрос 9. Формирование портфеля ценных бумаг Тобина.
Модель эффективного портфеля Дж Тобина предназначена для создания оптимальных портфелей активов c использованием безрисковых финансовых инструментов.
В модели Тобина в отличие от модели Г. Марковица предполагается наличие так называемых безрисковых активов, доходность которых не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение. Кроме того, в модели Дж. Тобина допустимыми являются любые портфели, это значит, что допустимы не только покупки акций, но и продажи. Поэтому доли акций (xi) могут принимать и отрицательные значения. Единственное ограничение на портфеля – сумма всех долей должна равняться 1, включая и долю безрискового актива (x0).
(1)
Доходность портфеля по Тобину будет выглядеть как сумма доходностей отдельных акций (mi) с выбранными весовыми коэффициентами, а также доходность безрискового актива(m0). Каждый инвестор пытается максимизировать получаемую доходность, что представлено формулой (2).
(2)
Помимо доходности инвестору необходимо так же учесть и риск, связанный с той или иной акцией. Риск выражается в виде стандартного квадратического отклонения δi каждой акции. Значение δр - это уровень приемлемого риска для инвестора. Помимо учета стандартного квадратического отклонения отдельных акций необходимо учесть корреляцию между доходностями акций - rij . В итоге риск всего портфеля представлен формулой 3.
(3)
Экономико-математическая модель задачи формирования оптимального портфеля по Тобину, максимальной доходности, при которой риск портфеля не превышает заданного значения δр , и при учете всех ограничений на портфель, примет следующий вид (4):
(4)
Экономико-математическая модель задачи формирования портфеля минимального риска имеет вид, где: mp- требуемая норма доходности (5).
(5)
Пример составления портфеля акций российских эмитентов на основе модели Тобина
Главный вывод, сделанный Тобином, заключается в следующем: если имеется возможность выбирать не только между заданным рисковым портфелем и безрисковыми ценными бумагами, но и одновременно выбирать структуру рискового портфеля, то оптимальной окажется только одна такая структура, не зависящая от склонности инвестора к риску.