Вопрос 4. Применение метода анализа иерархий в анализе инвестиционных процессов.

Метод анализа иерархий – методологическая основа для решения задач выбора альтернатив посредством их многокритериального рейтингования.

Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решения. Это позволяет определить относительную значимость исследуемых альтернатив для каждого из критериев, находящихся в иерархии, которая численно выражается в виде вектора приоритетов.

По характеру связей между критериями и альтернативами можно выделить две группы иерархий:

1)Иерархия, где каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, имеет связь со всеми из них можно отнести к первой группе (иными словами имеется одинаковое число и функциональный состав альтернатив под критериями).

2) Иерархии, у которых не каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (различное число и функциональный состав альтернатив под критериями).

В Методе анализа иерархий существуют три метода сравнения альтернатив:

• попарное сравнение альтернатив;

• сравнение альтернатив относительно стандартов;

• сравнение копированием.

В МАИ основная цель исследования и все факторы, в той или иной степени влияющие на достижение цели, распределяются по уровням в зависимости от степени и характера влияния. На первом уровне иерархии всегда находится одна вершина – цель проводимого исследования. Второй уровень иерархии составляют факторы, непосредственно влияющие на достижение цели. При этом каждый фактор представляется в строящейся иерархии вершиной, соединенной с вершиной 1-го уровня. Третий уровень составляют факторы, от которых зависят вершины 2-го уровня. И так далее. Этот процесс построения иерархии продолжается до тех, пока в иерархию не включены все основные факторы или хотя бы для одного из факторов последнего уровня невозможно непосредственно получить необходимую информацию. По окончании построения иерархии для каждой материнской вершины проводится оценка весовых коэффициентов, определяющих степень ее зависимости от влияющих на нее вершин более низкого уровня. При этом используется метод попарных сравнений.

Иерархия с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями и метод попарного сравнения элементов.

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (напр-р, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. На рисунках приведен общий вид иерархии, где Eij – элементы иерархии, Аi – альтернативы.

а)– декомпозиция;б)– синтез; в)– упорядочение

Первый вариант – конкретизация (декомпозиция) заданного множества элементов (в частности, критериев). Второй вариант противоположен первому и предполагает синтез более общих элементов из заданных частных. Третий вариант – упорядочение предварительно заданного множества элементов на основе их попарного сравнения.

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 – объекты равнозначны; 2 – предпочтение одного объекта над другим.

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений.

Для этого в иерархии выделяются элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы.

Построение матриц парных сравнений  

После иерархического воспроизведения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты факторов (критериев) и оценить каждую из альтернатив по факторам (критериям), выявив самую важную их них

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е₁, Е₂, ..., Е_n – множество из n элементов (альтернатив) и v₁, v₂, …, v_n – соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [E] имеет вид:

Таблица 2

Пример матрицы парных сравнений

	Е1	Е2	…	Еn
Е1	v1/v1	v1/v2	…	v1/vn
Е2	v2/v1	v2/v2	…	v2/vn
…	…	…	…
Еn	vn/v1	vn/v2	…	vn/vn

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т.е.

a_ij = 1/a_ji, где a_ij = v_i/v_j.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза с учетом обозначений, принятых в предыдущей иерархии.

Шаг 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив относительно элементов E_ij предпоследнего уровня иерархии (i=S). Здесь через E_ij обозначены элементы иерархии, причем верхний i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j – порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив W^A_S относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе отношений (1) и (2)

,где e = {1,1,1,…,1}T – единичный вектор;

(1) k = 1, 2, 3, … - показатель степени;

С – константа; Т – знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W, производятся до достижения заданной точности:

eT| W(l) – W(l+1)|  , (2)

где l – номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2; l = 3, k = 3 и т. д.;

 - допустимая погрешность.

по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

(3)

Шаг 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов E_ij. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов:

(4)

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ_j, находящихся на всех иерархических уровнях, кроме последнего, содержащего элементы E^S_j.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

(5)

где - вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E1i-1, определяющий j-й столбец матрицы;

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:

(9)

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии E11 вычисляется следующим образом:

(10)

Рассмотренная модификация МАИ может эффективно применяться при решении широкого класса социально-экономических и управленческих задач.