Глава 24. Нелинейная динамическая модель Кейнса

Метод линеаризации рассмотрим на примере нелинейной модели Кейнса как нелинейного динамического звена первого порядка:

_{, (1)}

_{Т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае .}

_{Поскольку - ВВП, а - инвестиции, то из экономических соображений следует, что}

₍₂₎

_{Т.е. с увеличением ВВП его скорость роста замедляется, а с увеличением инвестиций – возрастает.}

_{Пусть при t=0 инвестиции были равны, и система находилась в некотором равновесном состоянии , первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции считаются известными)}

_{При увеличении инвестиций с до система будет удовлетворять уравнению:}

Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей:

Переменная удовлетворяет уравнению (3)

Если приращение инвестиций сравнительно мало, то при эволюторном характере функций переменная часть также сравнительно мала, поэтому правую часть (3) можно разделить в окрестности точки вряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:

.

После пересечения члена, содержащего , в левую часть и деления обеих частей на получаем уравнение инерционного звена: (4)

Где - обобщенная склонность к накоплению в начальном состоянии;

Из (10) вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:

А ВВП в целом будем изменяться так: ,

При этом новое равновесное состояние ВВП будет равно

Глава 25. Динамическая модель Кейнса

В рассматриваемой модели роль единственной эндогенной переменной Y , изменяющейся во времени, выполняет валовой внутренний продукт (ВВП), т.е. объем производства товаров конечного пользования. ВВП состоит из 4 частей: фонд непроизводственного потребления С; валовые частные внутренние инвестиции I; государственные расходы на закупку товаров и услуг G; чистый экспорт Е. В модели экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы распределяются на потребление и накопление, поэтому принимается:

Y=C+I

В модели предполагается, что спрос на инвестиционные товары постоянен, а спрос на потребительские товары в будущем году есть линейная функция ВВП текущего года:

,

где – нижняя граница фонда непроизводственного потребления;

-предельная склонность к потреблению.

Динамическая модель Кейнса возникает, если приравнять планируемый выпуск товаров конечного пользования прогнозируемому спросу на них:

(1)

Эта модель может применяться только для анализа и краткосрочного планирования поведения экономики. Она непригодна для долгосрочного прогнозирования, поскольку не отражает воспроизводственный процесс, в частности, в ней не учтено выбытие фондов в связи с их физическим и моральным износом.

С математической точки зрения модель (1) является линейным конечно-разностным уравнением первого порядка. Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Решение однородного уравнения

будем искать в виде , поэтому , и для определения получаем характеристическое уравнение

,

поэтому общее решение однородного уравнения , где А – постоянная.

Частное решение неоднородного уравнения (1) равно (проверяется непосредственной подстановкой в уравнение):

,

Поэтому общее решение неоднородного уравнения таково:

Постоянную А определяем с помощью начального значения

Откуда ,

поэтому окончательно получаем конкретное решение уравнения (1):

,

при этом , так как т.е. -установившееся значение ВВП.