Глава 23. Модель Неймана
Модель Неймана является в определенной мере обобщенной моделью Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта разными способами (в модели Леонтьева каждая отрасль производит один продукт и никакая другая отрасль не может производить этот продукт).
В модели представлено
n продуктов и m способов их производства,
каждый j-й способ задается вектором-столбцом
затрат
и вектором-столбцом выпусков
в расчете на единицу интенсивности
процесса:
(1)
Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат и выпуска
(2)
Коэффициенты
затрат
и выпуска
,
разумеется, неотрицательны. Естественно
предположить, что для реализации любого
процесса необходимы затраты хотя бы
одного продукта, т.е. для каждого j
найдется хотя бы одно I
такое, что
,
(3)
И каждый продукт может быть произведен хотя бы одним способом, т.е для каждого i существует некоторое j, такое что
,
(4)
Из (3,4) следует, что каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы B должны иметь по крайней мере один положительный элемент.
Обозначим, как и ранее, через неотрицательный вектор-столбец интенсивности производственных процессов
А через
- вектор-строку неотрицательных цен
Вектору
- это вектор затрат при заданном векторе
интенсивности процессов
,
а вектор
- вектор выпусков.
Модель Неймана описывает замкнутую экономику в том смысле, что для производства продукции в следующем производственном цикле (в год t) расходуется продукция, произведенная в предыдущем производственном цикле, т.е. в год (t-1).
(5)
При этом
предполагается, что задан первоначальный
вектор запасов
.
Система (5) - это модель Неймана в натуральной форме. Такова и унифицированная форма модели динамического межотраслевого баланса.
Модель Неймана в форме (5) имеет скорее теоретический, чем практический характер: в ней в явном виде не отражены накопление и непроизводственное потребление. Вместе с тем ранее было показано, как модель динамического межотраслевого баланса в естественной экономической форме, в которой отражены и накопление, и непроизводственное потребление, приводится к унифицированной форме , которая имеет вид (5).
Следовательно, обратным ходом из
может
быть восстановлена естественная форма.
Точно так же и в общем случае вектор
переменных модели
может
быть, вообще говоря, расщеплен на части,
отражающие накопление и непроизводственное
потребление, а вслед за этим и вся модель
претерпит такое же расщепление.
Двойственной к системе (5) является система
,
(6)
Которая трактуется следующим образом: ни один процесс в замкнутой модели Неймана не приносит положительного дохода. Следует при этом заметить, что в (6) затраты делаются в год (t-1), а результаты этих затрат проявляются в год t.
Если (6) рассматривать
в форме равенств, то владелец капитала,
вложив в капитал k в год (t-1) и вернув его
в год t , может даже получить при этом
выгоду в натуральной форме при
,
поскольку он может купить больше наборов
товаров
в год t, чем в год t-1:
Если модель Неймана получена путем приведения модели динамического межотраслевого баланса к унифицированному виду, то система (6) в форме равенств примет следующий вид (тильда будет использоваться в описании модели Неймана, а переменные и матрицы без тильды - в описании разомкнутой модели межотраслевого баланса):
(7)
Траектория
интенсивности называется стационарной,
если существует такое число
,
что
.
Таким образом, стационарная траектория характеризуется постоянством темпов роста интенсивности:
.
Для
стационарности последовательности
необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие
(14)
Траектория
цен называется стационарной,
если существует такое число
,
что
Таким образом, стационарная траектория характеризуется постоянством темпов роста цен:
Модель
Неймана находится в состоянии динамического
равновесия
,
если
- положительны;
- неотрицательны и отличны от нуля и
выполнены условия:
(18)
При
этом луч
называется
лучом Неймана.
В рамках модели Неймана можно ставить и решать оптимизационные экономические задачи. Наиболее частный случай – оптимум линейной функции состояния в конце рассматриваемого периода:
(20)
Траектория называется допустимой, если она удовлетворяет ограничениям (20), и оптимальной, если она, кроме того, доставляет максимум функции цели задачи (20).
Задача (20) с выделением естественного условия (в (20) это условие погружено в основные ограничения) является большеразмерной задачей линейного программирования, поэтому ее решение не представляет потенциальных трудностей. При этом для каждого набора исходных данных получится свое решение. Однако совсем неясно, как выглядит общая картина решений. Между тем развитая школой математической экономки магистральная теория позволяет в общих чертах нарисовать такую картину.
Луч
Неймана, порожденный вектором
,
который удовлетворяет условию
,
является магистралью для задачи (20)
Т.е. «почти все время» любая оптимальная траектория идет вдоль луча Неймана, порожденного .