Глава 21. Статическая модель Леонтьева

Основные предположения:

1. в экономической системе производится, продается, потребляется и инвестируется n продуктов;

2. каждая отрасль является «чистой», т.е. производит только один вид продукции;

3. Соотношение затрачиваемого продукта и выпускаемого предполагается постоянным.

- валовой выпуск i-ого продукта (распадается на две части: на производственное потребление во всех отраслях, и на конечное потребление), - коэффициент прямых затрат (для производства единицы j-ого продукта надо затратить единиц i-ого продукта), - производственное потребление всеми отраслями, - чистый выпуск, - конечный спрос (конечное потребление, экспорт и инвестиции)

Приравняв чистый выпуск каждого i-ого продукта и конечный спрос на него , получим систему уравнений: X-AX=Y, X=AX+Y (1)

которая и составляет модель Леонтьева.

Отметим важную особенность системы, вытекающую из прикладного характера задачи: все элементы матрицы A и векторов X и Y должны быть неотрицательными.

Сущность метода Леонтьева состоит в определении валового выпуска отраслей по заданному экзогенно конечному спросу на основе данных о технологических возможностях, воплощенных в расходных коэффициентах и, наоборот, по заданным валовым выпускам определяют объем коечного потребления.

Матрицу A называют продуктивной, если:

1) она неотрицательна и

2) для любого неотрицательного вектора Y уравнение Леонтьева (с этой матрицей A) имеет неотрицательное решение X.

В таком случае и модель Леонтьева называют продуктивной.

Теорема Пусть A — неотрицательная матрица. Если хотя бы для одного положительного вектора Y уравнение Леонтьева имеет положительное решение X, то матрица A продуктивна.

Иными словами, если все элементы матрицы неотрицательны, то достаточно установить наличие положительного решения системы хотя бы для одного положительного вектора Y , чтобы матрица A была

продуктивной.

Если матрица E-A обратима (т. е. существует обратная матрица , то для любого Y существует единственное решение X:

Матрицу называют матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матриц.

Первый. Неотрицательная матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна. Второй. Матричный ряд сходится , причем его сумма равна обратной матрице _{. Третий. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А строго меньше единицы. Четвертый. Все главные миноры матрицы E-A порядка от 1 до n положительны.}

Пятый. Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу (строке) не превосходит единицы, причём хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы (достаточное условие).

Глава 22. Динамическая модель Леонтьева

Основные предпосылки:

1. экономика имеет в совеем составе n отраслей, производящую и потребляющую n типов продуктов;

2. каждая отрасль производит один продукт, разные отрасли производят разные продукты;

3. коэффициенты матрицы прямых затрат не зависят от времени и масштабов производства;

4. время в модели дискретно.

Основные обозначения:

- вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

- вектор-столбец отраслевых мощностей (максимальные возможности выпуска);

- вектор ввода мощностей;

- трудовые ресурсы;

-матрица фондоемкости;

(nx1) - вектор-столбец потребления в расчете на одного занятого

(1xn) - вектор-строка трудоемкости.

Модель:

(1)

(2)

(3)

(4)

, , , ,

Объяснение модели:

1. неравенство (1) показывает, что общий валовой выпуск продуктов должен покрывать текущие производственный расходы ( ), затраты на расширение производства ( ) и на непроизводственное потребление ( );

2. неравенство (2) ограничивает валовой выпуск наличными мощностями;

3. неравенство (3) показывает отраслевые балансы мощностей с учетом их выбытия и ввода;

4. уравнение (4) ограничивает выпуск отраслей, имеющимися трудовыми ресурсами;

5. лаг капитальных вложений равен одному году.

Последовательность векторов назовем допустимой траекторией, если в каждый год t выполняются все условия модели (в базовом году мощности заданы и равны ).

Введем следующие обозначения:

Тогда модель динамического межотраслевого баланса приобретает следующую форму модели Неймана

(5)

Следует обратить пристальное внимание на экономический смысл перехода от формы (1)-(4) модели динамического межотраслевого баланса к форме (5). Первую можно рассматривать как разомкнутую форму модели в том смысле, что часть произведенной продукции экономика затрачивает на внутренние нужды (на производственное потребление и на расширение мощностей), в то время как другая часть выдается вовне в виде непроизводственного потребления.

Если теперь замкнуть экономику, т.е. включить потребителя (домашние хозяйства) в состав экономической системы, то придем к форме (5) модели динамического межотраслевого баланса. При этом домашние хозяйства рассматриваются как (n+1)-ая отрасль экономики, которая потребляется продукцию других отраслей с коэффициентом прямых затрат и производит единственный вид продукции – труд с интенсивностью Lt. В свою очередь другие отрасли потребляют продукцию (n+1)-й отрасли (труд) с коэффициентами прямых затрат .

Альтернативный вариант ответа

Рассмотрим модель Леонтьева во времени. Предположим, что из выпуска каждой отрасли предназначенной для потребления выделяются инвестиции на развитие каждой отрасли. Статический межотраслевой баланс Леонтьева: приравниваем чистый выпуск отраслей конечному спросу на продукцию отраслей.

,

где тогда:

- вектор-столбец годовых валовых выпусков отраслей;

тогда

- вектор-столбец годового конечного спроса на продукцию отраслей;

- матрица прямых затрат, каждый элемент которой aij показывает, сколько единиц продукта i необходимо для производства единицы j-го продукта. При этом предполагается, что a_ij не зависят от времени и масштаба производства.

Если теперь вектор конечных продуктов y_t в каждый год t, представить в виде двух векторов: инвестиционных товаров (продуктов) и потребительских товаров, то получим модель динамического межотраслевого баланса:

где - матрица приростных фондоемкостей, каждый элемент которой b_ij показывает, сколько единиц продукта i необходимо произвести для увеличения годового производства j-го продукта на единицу;

c_t – вектор-столбец конечного (непроизводственного) потребления.

С экономической точки зрения соотношение показывает разделение вектора валовых выпусков (а следовательно, и каждый его компоненты) на три части:

1. - текущее производственное потребление, включая амортизацию;

2. - капитальные затраты на расширенное производство;

3. - конечное (непроизводственное) потребление.

Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции. Второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.