4. Математические модели экономических задач.

4.1. Транспортная задача

Руда добывается в нескольких месторождениях М_i (i=1,…,n) и отправляется ряду потребителей Р_j (j=1,…,m). Известно количество руды, добываемое каждым месторождением, и количество руды, требуемое каждому из потребителей. Известны затраты с_ij на перевозки одной тонны руды от месторождения М_i к потребителю Р_j. Требуется так спланировать перевозки угля, чтобы затраты на них были минимальными.

Рассмотрим случай трех месторождений М₁, М₂, М₃,, добыча которых составляет соответственно a₁, а₂, а₃ тонн руды. Эту руду надо доставить в пункты потребления Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ , потребности которых в руде соответственно равны b₁, b₂, b₃, b₄, . Будем предполагать, что общее производство руды равно суммарной потребности в нем (такой план называют сбалансированным): a₁ +а₂ +а₃ = b₁ +b₂ +b₃ +b₄. Обозначим через x₁₁ количество руды (в тоннах), предназначенное к перевозке из M₁ в Р₁. Для наглядности составим схему перевозок.

	в Р1	в Р2	в Р3	в Р4	Всего
					отправлено
из М1	х11	х12	х13	х14	a1
из М2	х21	х22	х23	х24	а2
из М3	х31	х32	х33	х34	а3
Всего привезено	b1	b2	b3	b4

Тогда должны выполняться следующие условия

(1)

(2)

Кроме того, очевидно,

х_ij≥0, i=1,2,3, j=1,2,3,4. (3)

Стоимость перевозки из М_i в P_j. будет равна с _{i j}х _{i j}, а поэтому общая стоимость всех перевозок будет равна:

F=c₁₁х₁₁+c₁₂х₁₂+c₁₃х₁₃+c₁₄х₁₄+... +c₃₁х₃₁+c₃₂х₃₂+c₃₃х₃₃+c₃₄х₃₄, (4)

Задача состоит в нахождении чисел х_ij, удовлетворяющих ограничениям (1), (2), (3) (т.е. в определении плана перевозок), таких что общая стоимость перевозок (4) была бы наименьшей. Такие задачи называют транспортными задачами.

4.2 Задача об использовании ресурсов.

Пусть предприятие выпускает n товаров Т₁, …,Т_n. Для их выпуска требуются m видов ресурсов R₁,…,R_m (такими ресурсами могут быть, например, сырье для производства продукции, оборудование, энергия и т.д.). Предположим предприятие имеет ресурс R_i в количестве b_i условных единиц. Пусть для производства единицы товара Т_j требуется а_ij единиц ресурса R_i. Пусть также доход предприятия от производства единицы продукции Т_j равен с_j.

Требуется при данных ресурсах определить такую комбинацию товаров(то есть сколько каких товаров нужно производить), чтобы доход предприятия, который мы обозначим f , оказался максимальным.

Обозначим через х₁,…,х_n соответственно количество товара Т₁,…,Т_n.

Для выпуска товара Т₁ в количестве х₁ потребуется количество ресурса R₁ в количестве а₁₁х₁, для выпуска товара Т₂ в количестве х₂ потребуется количество ресурса R₁ в количестве а₁₂х₂,…, для выпуска товара Т_n в количестве х_n потребуется количество ресурса R_n в количестве а_1nх_n. Так как ресурс R₁ ограничен числом b₁, то должно выполняться условие

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n≤b₁.

Аналогичные условия должны выполняться и для других ресурсов R₂,…,R_m.

Очевидно, х₁≥0,…, х_n≥0.

Общий доход от производства всех товаров

f=c₁x₁+…c_nx_n.

Тогда задачу об использовании ресурсов можно сформулировать следующим образом. Найти х₁,…,х_n, удовлетворяющие условиям

(5)

х₁≥0,…, х_n≥0

и доставляющие линейной функции

f=c₁x₁+…c_nx_n (6)

наибольшее значение.