2.3. Этапы построения математических моделей

Рассмотрим задачу2.1.

Фермер может выбрать в поле любой участок, огородить его забором и засеять некоторой сельхозкультурой. Известно, что с единицы площади он получит прибыль с. Каковы должны быть размеры участка, чтобы фермер получил максимальную прибыль, если у фермера имеется L м сетки для забора.

Решение. Пусть х и у соответственно длина и ширина участка. Тогда его площадь ху, а длина забора 2х+2у. Поэтому математическая модель будет иметь вид: требуется найти максимум функции f(х,у)=сху при ограничениях 2х+2у=L или

f(х,у)=сху max (1)

2х+2у=L, х>0, у>0 (2)

Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:

1. Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу (В нашей задаче – получение наибольшей прибыли).

2. Определение пapaметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.В нашей задаче – прибыль с единицы площади с.

3. Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи. В нашей задаче – переменные х и у.

4. Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные. У нас в задаче – ограничения задаются условиями(2) Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

5. Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.

6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием качества или критерием оптимальности задачи. В рассмотренной задаче целевая функция – (1.) Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.

2.4 Математические оптимизационные модели.

Введем следующие условные обозначения:

 - параметры модели;

x - управляющие переменные или решения;

М - область допустимых решений;

 - случайные или неопределенные факторы;

f - целевая функция или критерий эффективности (критерий оптимальности). f=f (x, , )

В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет следующий вид:

f=f (x, , )  max (min) (3)

x  М (4)

 Решить задачу - это значит найти такое оптимальное решение x^X, чтобы при данных фиксированных параметрах  и с учетом неизвестных  факторов значения критерия эффективности F было по возможности максимальным (минимальным).

f^=f (x^, , ) = max (min) f (x, , )

x  М

 Таким образом, оптимальное решение - это решение, предпочтительное перед другими по определенному критерию эффективности (одному или нескольким).

 В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.

 Hелинейные модели - это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случится и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.